【学习目标】
1．了解反函数的概念．
2．会求一些简单函数的反函数．
3．会正确使用符号（x）表示f（x）的反函数．
4．了解互为反函数的两个函数的定义域、值域、对应法则之间的关系．
学习障碍】1．对反函数的定义理解不透，从而不知道函数在何种条件下具有反函数．
2．求反函数的步骤不规范．
3．对函数与它的反函数的定义域、值域的关系不明确，不能迅速提高解题质量和速度．
4．不知道奇函数的反函数仍是奇函数．
学习策略】．学习导引。
1．预习课本p65~67．
2．本课时重点是反函数的概念，难点是什么样的函数有反函数．
3．关于反函数的概念，本课时主要介绍了反函数的定义：一般地，函数y＝f（x）（x∈a）中，设它的值域为c，我们根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出来，得到x＝（y）．如果对于y在c中的任何一个值，通过x＝（y），x在a中都有惟一的值和它对应，那么，x＝（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x＝（y）（y∈c）叫做y＝f（x）（x∈a）的反函数，记作．
．知识拓宽。
1．从映射的观点来看，只有一一映射确定的函数才有反函数．
2．函数与其反函数在各自的定义域内单调性相同．
3．奇函数不一定存在反函数．
4．不要把（x）理解为，防止求反函数混为求倒数，（x）表示f（x）的反函数，式中的表示对应法则，它与原来的函数f（x）中的对应法则是互逆的关系．
．障碍分析。
1．是不是所有的函数都有反函数？
由反函数的定义知，只有通过x＝（y）,x在a中有惟一的值和它对应，这样的函数。
x＝（y）（y∈c）才叫做y＝f（x）的反函数．因此单调函数必有反函数．
一般来说，偶函数没有反函数，但是，并不是所有的偶函数都不存在反函数．某些特殊的偶函数也存在反函数，如y＝f（x）＝1（x∈）便存在反函数．
2．求反函数的步骤有几步？
有三步，（1）“反解”由y＝f（x）解出x＝（y）；
2）求原函数的值域，得到反函数的定义域；
3）交换x和y的位置，得到y＝（x）并注明其定义域．
3．反函数的定义域与值域和原来函数的定义域与值域有什么关系？
反函数的定义域与值域分别是原来函数的值域与定义域．
4．奇函数的反函数仍是奇函数吗？是．
例1］求下列函数的反函数．
1）y＝x2－4x＋3（x≥2）．
2）y＝（x∈r且x≠2）
解：（1）由y＝x2－4x＋3得（x－2）2＝y＋1
x≥2,∴x－2＝x＝2＋
又∵x≥2,∴y≥－1
所求反函数为y＝（x）＝2＋（x≥－1）
2）由y＝解得x＝（y≠1）
所求反函数为y＝（x）＝（x≠1）
例2］已知函数f（x）＝1＋有反函数，且点m（a,b）既在函数y＝f（x）的图象上，又在其反函数y＝（x）的图象上，求a,b的值．
解法一：由y＝1＋x＝
f（x）的反函数为y＝（x）＝（x≥1），从而得，消去b得1＋
化简（a－1）4＋2（a－1）2－8（a－1）＋5＝0
即［（a－1）－1］2［（a－1）2＋2（a－1）＋5］＝0
（a－1）2＋2（a－1）＋5≠0,∴（a－1）－1＝0,a＝2,b＝2．解法二：
两式相减，同样可求得a＝2,b＝2．
点评：由f（a）＝b（b）＝a，所以原函数的图象过（a,b）点，则其反函数的图象必过（b,a）点．
．思维拓展。
例3］（1）已知y＝f（x）的图象过点（0，1），则y＝f（4－x）的反函数的图象必过点。
2）y＝f（x＋1）的反函数的表达式是y＝（x＋1）吗？
解：（1）依题意f（0）＝1,即f（4－4）＝1
y＝f（4－x）的图象必过点（4，1）
其反函数的图象必过点（1，4）．
2）不是，由y＝f（x＋1）x＋1＝（y）
其反函数的表达式为y＝－1＋（x）．
．**学习。
单调增函数的反函数是增函数吗？
参***：单调增函数的反函数是增函数．
证明如下：设y＝f（x）为增函数，定义域为a，值域为b，则其反函数y＝（x）的定义域为b，值域为a．任取x1，x2∈b,且x1＜x2，设y1＝（x1）,y2＝（x2）,则y1∈a，y2∈a,且得x1＝f（y1）,x2＝f（y2）
x1＜x2，∴f（y1）＜f（y2）
y1,y2∈a,且y＝f（x）在a上为增函数．
y1＜y2,即（x1）＜（x2）
y＝（x）在b上亦为增函数．
同步达纲练习】
一、选择题。
1．若函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x），f（a）＝b,ab≠0，则g（b）等于。
a．ab．
c．bd．
2．下列各组函数中互为反函数的是。
a．y＝和y＝x2
b．和x＝c．y＝
d．y＝x2（x≥1）和y＝（x≥0）
3．函数y＝（a≠bc）的反函数是y＝，则a、b、c的值分别是。
a．1，－2，－3
b．－1，2，3
c．－1，－2，3
d．1，2，3
4．若函数y＝f（x）存在反函数，则方程f（x）＝c（c为常数）
a．有且只有一个实根。
b．至少有一个实根。
c．至多有一个实根。
d．没有实根。
二、填空题。
5．函数y＝x2－2x＋3（x＜－1）的反函数是。
6．如果点（1，2）既在y＝的图象上，又在其反函数的图象上，则ab
7．已知函数f（x）＝（x∈r且x≠），那么f －1（3）的值为。
三、解答题。
8．求函数y＝1－（－1≤x≤0）的反函数．
9．已知f（x）＝（x≠－a,a≠），求。
1）f（x）的反函数．
2）求使f －1（x）＝f（x）的实数a的值．
参***。同步达纲练习】
一、1．a 提示：由f（a）＝b，得（b）＝a即g（b）＝a．
2．b 提示：由y＝得x＝．
3．a 提示：y＝的反函数为（x）＝
与y＝比较得a＝1,b＝－2，c＝－3．
4．c 提示：由反函数定义可知选c．
二、5．y＝－＋1（x＞6）
提示：y＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2 （x－1）2＝y－2
x＝1－故（x）＝－1（x＞6）．
6．－3 7 提示：点（1，2）和（2，1）均在函数y＝的图象上，故有a＝－3,b＝7．
7． 提示：令3＝解得x＝．
三、8．解：由y＝1－，得＝1－y
1－x2＝（1－y）2
x2＝1－（1－y）2＝2y－y2
－1≤x≤0，故x＝－
又当－1≤x≤0时，0≤1－x2≤1，故0≤≤1
0≤y≤1所求函数的反函数为y＝－（0≤x≤1）．
9．解：（1）设y＝,则y（x＋a）＝3x＋1
整理得（y－3）x＝1－ay
若y＝3,则a＝与已知矛盾，∴y≠3
x＝，故所求的反函数为（x）＝（x≠3）．
2）若（x）＝f（x），则，整理得。
3x2－8x－3＝－ax2＋（1－a2）x＋a
比较两边对应项的系数，有解得a＝－3．
反函数教案第一课时
课题 2.4.1 反函数 一 教学目的 掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数。教学重点 反函数的定义和求法。教学难点 反函数的定义和求法。授课类型 新授课。课时安排 1课时。教具 多 实物投影仪。教材分析 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函...
反函数第一课时说课稿
一 教材分析。1.地位与重要性。反函数 第一节课是第一册 上 的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受 理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备，起到承上启下的重要作用。2 教学目标 1...
反函数第一课时练习
强化训练 2.4反函数第一课时 1.函数y x2 2x x 1的反函数是 解析 由y x2 2x解得x 1 x 1，x 1 即y 1 且 x 1 答案 d 2.已知函数y f x 有反函数，则方程f x k k为实常数 a.有且只有一个实根b.至多只有一个实根 c.至少有一个实根d.可能有两个实根 ...