一、教材分析。
1.地位与重要性。
反函数”第一节课是第一册（上）的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备，起到承上启下的重要作用。
2、教学目标
1）知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
2）能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；
3）情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。
3、教学重难点。
重点是反函数的概念及反函数的求法。理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。
难点是反函数概念的接受与理解。学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
二、教法分析。
根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法。引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中，采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。
三、学法分析。
授人以鱼，不如授人以渔”，在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿“怀疑”—“思索”—“发现”—“解惑”四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。
四、教学过程设计。
1、创设问题情境。
导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？
首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如若将定义域与值域互换，则对应变为这种对应是否构成单值对应，即映射呢？
这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。接着再举例：
同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即s=vt和t=（其中速度v是常量），在s=vt中位移s是时间t的函数；在t=中，时间t是位移s的函数．在这种情况下，我们说t=是函数s=vt的反函数．
设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识**于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。
2、新课讲授。
1）反函数的定义：函数y=f(x)(x∈a)中，设它的值域为 c．我们根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=(y)．如果对于y在c中的任何一个值，通过x=(y)，x在a中都有唯一的值和它对应，那么， x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数．这样的函数x=(y) (y∈c)叫做函数y=f(x)(x∈a)的反函数。记作：
．考虑到“用x表示自变量，y表示函数”的习惯，将中的x与y对调写成．
进一步深化对概念的理解，设置疑问：（1）反函数是不是函数；（2）反函数有没有三要素？如何确定？
引导学生思索，学生逐渐会认识到：反函数也是函数，其定义域是原函数的值域，对应法则可由原函数得到，值域则是原函数的定义域。
强调：1）反函数也是函数；2）要理解好符号f；
3）定义中的“如果”意味着对一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数； 4）函数y=f(x)与x=f (y)互为反函数；
5）交换变量x、y的原因．（顺应习惯，并且也为后面的图象研究提供方便，y实际上是原函数中的x，x是原函数中的y。）
6）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f (y)的值域、定义域；
2）函数与其反函数的关系。
3、应用解题，总结步骤。
但是，具体怎样求一个函数的反函数呢？
这些问题，必须通过实例解决，于是进入例题解答过程。
例1.求下列函数的反函数。
1）y=3x-1(x∈r)；
2)y=x3+1；
3）y=(2x+3)/(x-1)(x∈r且x≠1)
通过例1，要使学生明白具体求反函数的过程。以达到突出重点、突破难点的目的。
设计意图：通过例题，启发学生：既然反函数也存在三要素，那如何一一求出，得到具体的反函数呢？
这时结合第（1）小题，让学生思考问题。引导学生找出关键通过解关于x的方程，将x用y表达，以得到反函数的表达式。这个表达式中的x、 y表示什么？
这和我们通常的函数表达式有什么区别？进而引导学生想到交换x、 y得到我们习惯使用的函数表达式。再考虑：
反函数的定义域、值域怎么求？是怎样来的？学生思考后，可得出通过求原函数值域来得到反函数的定义域的方法。
此时，引导学生比较三道小题的解题步骤，师生共同小结出求反函数的三部曲：反解（把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式）--互换（求出所给函数的值域并把它改换成反函数的定义域）--改写（将函数写成y=f-1(x)的形式）。
板书）（3）求函数反函数的步骤：
1 由y=f(x)反解出x=f (y)．
2 把x=f (y)中 x与y互换得。
3 写出反函数的定义域。
简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）
教师在这一部分教学中，抓住反函数是函数这一本质问题，突出了反函数与原函数之间的联系，给出了具体求解的过程，使学生掌握了重点问题的解决方法。教师以一个个问题来引导学生逐步“发现”解决问题的方法，符合学生的认知水平。在教师创设的问题情境中，学生的认识达到了第一次平衡。
反函数的概念已经理解，反函数也会求了，任务已基本完成，该休息了”，有的学生会这样想。这时，出示第二道例题，打破平衡，激起学生的疑难。
例2、（1）y=x2(x∈r)的反函数。
2）y=x2(x≥0)的反函数是。
3）y=x2(x<0)的反函数是。
相当一部分同学会按部就班求出第（1）小题的“反函数” y= (x∈r)。这对不对呢？引导学生观察图象，从函数的概念出发，必须存在x→y的单值对应，但反过来呢？
y→x存不存在单值对应呢？适当的引导提问，使学生抓住了问题的关键：在原函数的定义域内必须存在y→x的单值对应，这是反函数存在的前提。
认清这一问题后，引导学生进一步分析，y=x2(x∈r)不存在反函数，在定义域的局部存不存在反函数呢？让学生借助图形发现答案，并且进一步得出y=x2(x≥0)，y=x2(x<0)两个函数的反函数。这样，就突破了主要难点，澄清了概念，并为以后反正弦函数的教学做好理论准备。
设计意图：（1）通过函数图像来研究问题，直观形象，符合学生的认识水平，并且为后续的互为反函数的函数图像关系问题做好铺垫。（2）对于反函数的存在性问题，不能回避，必须使学生理解其内在含义，由具体的二次函数结合图像解决这一问题，可以澄清的学生的疑问，达到教学目标。
4、巩固强化，评价反馈。
练习（1）函数y=2|x|在下列哪个定义区间内不存在反函数？ （
（a）[2，4]； b）[-4，4] （c）（0，+∞d）（-0]
(2)求反函数：y=x/(2x+5),(x∈r且x≠-5/3)
3）已知y= ，x∈[0,5/2],求出它的反函数，并指明定义域。
设计意图：第一道题是概念题，使学生对于反函数的概念有更清晰的认识，使学生对于反函数的存在条件认识更深刻。第二道题使学生熟悉反函数的求法，突出重点。
第三道题使学生加深对于概念的理解，弄清反函数与原函数的内在关系。
5、反思小结，再度设疑。
本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究．（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）
6．布置作业。
p64习题2.4第1题第2题。
反函数教案第一课时
课题 2.4.1 反函数 一 教学目的 掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数。教学重点 反函数的定义和求法。教学难点 反函数的定义和求法。授课类型 新授课。课时安排 1课时。教具 多 实物投影仪。教材分析 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函...
反函数第一课时练习
强化训练 2.4反函数第一课时 1.函数y x2 2x x 1的反函数是 解析 由y x2 2x解得x 1 x 1，x 1 即y 1 且 x 1 答案 d 2.已知函数y f x 有反函数，则方程f x k k为实常数 a.有且只有一个实根b.至多只有一个实根 c.至少有一个实根d.可能有两个实根 ...
反函数 第一课时 点拨
学习目标 1 了解反函数的概念 2 会求一些简单函数的反函数 3 会正确使用符号 x 表示f x 的反函数 4 了解互为反函数的两个函数的定义域 值域 对应法则之间的关系 学习障碍 1 对反函数的定义理解不透，从而不知道函数在何种条件下具有反函数 2 求反函数的步骤不规范 3 对函数与它的反函数的定...