班姓名 一、选择题（每题6分共36分）
1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个。
a.360 b.252 c.720 d.240
2.已知数列{}(n≥1)满足=-，且=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]
a.2005 b.2006 c.2007 d.2008
3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是[ ]
a.1 b. c. d.
4.若(n∈n+),则被3除的余数是[ ]
a.0 b.1c.2d.不能确定。
5.已知，且，则的最小值是 [
a、 b、 c、 d、
6.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[ ]
a.17 b.16c.11d.10
二、填空题（每题9分共54分）
7.在锐角三角形abc中，设tana,tanb,tanc成等差数列且函数f(x)满足。
f(cos2c)=cos(b+c-a)，则f(x)的解析是为。
8.的末三位数是___
9.集合a中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，这样的集合共有个。
10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于a、b两点，且|ab|=.在抛物线上是否存在一点c，使△abc为正三角形若存在，c点的坐标是。
11.在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则。
的值为 12. 设函数，其中函数在上是单调递减函数；
则的取值范围是。
三、解答题（每题20分共60分）
13. 已知点a和曲线上的点…、。
若、、…成等差数列且公差d >0,1). 试将d表示为n的函数关系式。
2). 若，是否存在满足条件的。若存在，求出n可取的所有值，若不存在，说明理由。
14.设a,b,c∈(1,+∞证明：2(++
15.定义下列操作规则：
规则a：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数要变为，可以这样操作：。）
规则b：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。
规则c：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。
现按照顺序排列着，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为。
问：（1）只用规则a操作，目标能否实现？
2）只用规则b操作，目标能否实现？
3）只用规则c操作，目标能否实现？
高二数学竞赛模拟试卷（1）
参***。一、选择题（每题7分共35分）
1.由0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5的偶数有[ ]个。
a.360 b.252 c.720 d.240
解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个。
由加法原理，共有-+2(-)252个。
2.已知数列{}(n≥1)满足=-，且=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ]
a.2005 b.2006 c.2007 d.2008
解。因此，对n≥1， +0，从而数列中任意连续6项之和均为0.
2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为，即=2006，于是前2006项的和等于+=2007.所以选(c).
3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是[ ]
a.1 b. c. d.
解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此。
4.若(n∈n+),则被3除的余数是。
a.0 b.1c.2d.不能确定。
解。=-21(mod3).所以选(b).
5.已知，且，则的最小值是 [
a、 b、 c、 d、
解：由已知得，所以。
当且仅当，即时，取等号。
故当时，有最小值。
所以选c6.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[ ]
a.17 b.16c.11d.10
解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，4>2 (硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的。
如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是。
借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形abc完全被覆盖，这时若在三角形abc内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点。
故n的最小值是11，所以选(c).
二、填空题（每题8分共40分）
6. 设函数，且对任意。则。解：
即。7.在锐角三角形abc中，设tana,tanb,tanc成等差数列且函数f(x)满足。
f(cos2c)=cos(b+c-a)，则f(x)的解析是为。
解：tana=-tan(b+c),tana+tanb+tanc=tanatanbtanc,tana+tanc=2tanb,于是有3tanb=tanatanbtanc,因为b为锐角，所以tanb≠0,所以tanatanc=3,令cos2c=x,则=，所以===
所以cos(b+c-a)=cos(-2a)=-cos2a=1-2=1-=,即f(x)=.
8.的末三位数是___
解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[100+100i+9][100+100i+21]
10000+3000i(i+1)+189189(mod1000).
所以=189×100900(mod1000).
所以末三位是900
9.集合a中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-，这样的集合共有个。
解：从集合a的性质可得，a必然是六个集合，中某几个的并集，因此符合要求的a共有+++1=63个。
10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于a、b两点，且|ab|=.在抛物线上是否存在一点c，使△abc为正三角形若存在，c点的坐标是。
解：设所求抛物线方程为，由弦长|ab|=建立关于p的方程。
解得 p=或p=- 舍去)，故抛物线方程为。
设ab的中点为d(x0,y0)，抛物线上存在满足条件的点c(x3,y3)，由于△abc为正三角形。所以cd⊥ab，|cd|=|ab|=.
由cd⊥ab得① 由②
解①②得，
不在抛物线上。故抛物线上存在一点(,)
11.在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则。
的值为 解：当n为偶数时，，故。
当n奇数时，，，故。
故。12. 设函数，其中函数在上是单调递减函数；
则的取值范围是。
解：（1）设，则。
设，则显然。,∴只需要，就能使在上是单调递减函数；
三、解答题（每题20分共60分）
13. (1). d>0,故为递增数列 ∴最小，最大。
由方程知是它的右焦点，l:是它的右准线， ∴于是 ∴
设又∵∴取最大值14,取最小值8.
可取这七个值。
14.设a,b,c∈(1,+∞证明：2(++
证明：∵a,b,c∈(1,+∞logba,logcb,logac,都是正数，并且它们的乘积等于1，++3=,又∵2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3,≥=即 2(++
15.解答：（1）能，实行如下操作：
2）不能，从左到右，把数所占的位置编上号，按照规则b，若数在号位置，一次变换后可能是号位置，所以操作过程中数所占位置的奇偶性不会改变。而中1在1号位，目标中1是2号位，这不可能。
3）能，通过如下操作（记为“*操作”）：
可以将一个数往前提4个位置，而其他各数的顺序不变。
将通过“*操作”，可以变为，再对1997，1998，1999，2000，2005施行“*操作”，变为，如此反复可以变为，最后对施行“*操作”得到。
高二理科数学竞赛试卷
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