初等数论。
一、整除性理论。
1、整除的部分性质：
若c | b，b | a，则c | a若c | a，d | b，则cd | ab
若c | a，c | b，则c |（ka+nb）；若c | a，c | b，则c |（a+b）
若ma | mb，则a | b若a＞0，b＞0，b | a，则b≤a
若n∈n*，则（a－b）|（a n－b n）。若n为奇数，则（a＋b）|（a n＋b n）。
若n为偶数，则（a＋b）|（a n－b n）
任意n个连续正整数的乘积必能被n！整除。
当（a，b）=1时，称a、b互素（互质）。有：
已知（a，c）=1，若a | bc，则a | b；若a | b，c | b，则ac | b
p为素数，若p | ab，则p | a或p | b ③[a，b]·（a，b）=ab
（a，b）=（a，b－ac）=（a－bc，b）对任何整数c成立。
存在整数x、y，使ax+by=（a，b）
m（a，b）=（ma，mb） ⑦若（a，b）=d，则=1
若a | m，b | m，则[a，b] |m ⑨m[a，b]=[ma，mb]
2、奇偶性分析。
3、个位数。
定理：在（k，r为非负整数）中，0≤r＜4，则当r=0（k≠0）时，的个位数字与n4的个位数字相同；当r≠0时，的个位数字与的个位数字相同。
4、平方数性质：
个位数字只能是：0，1，4，5，6，9
末两位数字不可能同时为奇数。
偶数的平方是偶数，且被4整除；奇数的平方是奇数，且被4除余1。
在n2与（n+1）2之间不存在平方数。
5、算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成素数的乘积。如果不考虑这些素因子的次序，则这种分解法是唯一的。
即对任一整数a＞1，有a=，其中均为素数，α1、α2、…、n都是正整数。
另可得：a的正约数的个数为（α1+1）（α2+1）…（n+1）
二、同余理论。
1、定义：设m是正整数，叫做模，若m|（a－b），称a，b对模m同余，记作a≡b（mod m）
2、性质：①a≡a（mod m） ②若a≡b（mod m），则b≡a（mod m）
若a≡b（mod m），b≡c（mod m），则a≡c（mod m）
若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a±c≡b±d（mod m），ac≡bd（mod m）
若n|m，a≡b（mod m），则a≡b（mod n）
若（m，n）=1，a≡b（mod m），a≡b（mod n），则a≡b（mod mn）
若a≡b（mod m），n∈n*，则a n≡b n（mod m）
若ac≡bc（mod m），（c，m）=d，则a≡b（mod ）
费尔马小定理：p是素数，则≡a（mod p）
3、剩余类：把关于模m同余的数归于一类，每类称为一个模m的剩余类。
剩余类的结构很简单，设a是余数为r的剩余类，则a=
设a1、a2、…、am是模m的m个剩余类，从ai中取一数ai，则a1，a2，…，am称为模m的一个完全剩余系，简称m的完系。
三、其它：1、计数法（进位制）
2、高斯函数[ x ]
3、整点问题。
4、不定方程。
定理1：设n≥2，n元一次不定方程(≠0）有整数解的充要条件是。
特别地，当n=2时，，二元一次不定方程的全体整数解可表示为。
其中（）是原方程的一组特解，t取全体整数。
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