高中数学必修1知识点总结。
第二章基本初等函数(ⅰ)
2.1〗指数函数。
2.1.1】指数与指数幂的运算。
1)根式的概念。
如果,且,那么叫做的次方根.当是奇数时,的次方根用符号表示;当是偶数时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号表示;0的次方根是0;负数没有次方根.
式子叫做根式,这里叫做根指数,叫做被开方数.当为奇数时,为任意实数;当为偶数时,.
根式的性质:;当为奇数时,;当为偶数时,.
2)分数指数幂的概念。
正数的正分数指数幂的意义是:且.0的正分数指数幂等于0.
正数的负分数指数幂的意义是:且.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数.
3)分数指数幂的运算性质。
2.1.2】指数函数及其性质。
4)指数函数。
2.2〗对数函数。
2.2.1】对数与对数运算。
1)对数的定义。
①若,则叫做以为底的对数,记作,其中叫做底数,叫做真数.
负数和零没有对数.
对数式与指数式的互化:.
2)几个重要的对数恒等式,.
3)常用对数与自然对数。
常用对数:,即;自然对数:,即(其中…).
4)对数的运算性质如果,那么。
加法: ②减法:
数乘: ④ ⑥换底公式:
2.2.2】对数函数及其性质。
5)对数函数。
6)反函数的概念。
设函数的定义域为,值域为,从式子中解出,得式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成.
7)反函数的求法。
确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式中反解出;
将改写成,并注明反函数的定义域.
8)反函数的性质。
①原函数与反函数的图象关于直线对称.
函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
若在原函数的图象上,则在反函数的图象上.
一般地,函数要有反函数则它必须为单调函数.
2.3〗幂函数。
1)幂函数的定义。
一般地,函数叫做幂函数,其中为自变量,是常数.
2)幂函数的图象。
3)幂函数的性质。
图象分布:幂函数图象分布在第。
一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第。
一、二象限(图象关于轴对称);是奇函数时,图象分布在第。
一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.
过定点:所有的幂函数在都有定义,并且图象都通过点.
单调性:如果,则幂函数的图象过原点,并且在上为增函数.如果,则幂函数的图象在上为减函数,在第一象限内,图象无限接近轴与轴.
奇偶性:当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数.当(其中互质,和),若为奇数为奇数时,则是奇函数,若为奇数为偶数时,则是偶函数,若为偶数为奇数时,则是非奇非偶函数.
图象特征:幂函数,当时,若,其图象在直线下方,若,其图象在直线上方,当时,若,其图象在直线上方,若,其图象在直线下方.
补充知识〗二次函数。
1)二次函数解析式的三种形式。
一般式:②顶点式:③两根式:(2)求二次函数解析式的方法。
已知三个点坐标时,宜用一般式.
已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
若已知抛物线与轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求更方便.
3)二次函数图象的性质。
二次函数的图象是一条抛物线,对称轴方程为顶点坐标是.
当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增,当时,;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当时,.
二次函数当时,图象与轴有两个交点.
4)一元二次方程根的分布。
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.
设一元二次方程的两实根为,且.令,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向: ②对称轴位置: ③判别式: ④端点函数值符号.
k<x1≤x2
x1≤x2<k
x1<k<x2 af(k)<0
k1<x1≤x2<k2
有且仅有一个根x1(或x2)满足k1<x1(或x2)<k2 f(k1)f(k2) 0,并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合。
k1<x1<k2≤p1<x2<p2
此结论可直接由⑤推出.
5)二次函数在闭区间上的最值。
设在区间上的最大值为,最小值为,令.
ⅰ)当时(开口向上)
若,则 ②若,则 ③若,则。
若,则 ②,则。
ⅱ)当时(开口向下)
若,则 ②若,则 ③若,则。
1 ,则则.
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