第一章空间几何体。
1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体。
常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式:
一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图1.1-11中(1)(2)物体表示的几何体;
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图1.1-11中(3)(4)物体表示的几何体。
棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图。
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。
1)定义:正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图;
侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图;
俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等”
2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形。
3、斜二测画法的基本步骤:
建立适当直角坐标系(尽可能使更多的点在坐标轴上)
建立斜坐标系,使=450(或1350),注意它们确定的平面表示水平平面;
画对应图形,在已知图形平行于x轴的线段,在直观图中画成平行于x‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于y轴的线段,在直观图中画成平行于y‘轴,且长度变为原来的一半;
一般地,原图的面积是其直观图面积的倍,即。
4、空间几何体的表面积与体积。
圆柱侧面积;
圆锥侧面积:
圆台侧面积: 体积公式:
球的表面积和体积:
一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证。
1、公理1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
公理1的作用:判断直线是否在平面内。
2、公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
若a,b,c不共线,则a,b,c确定平面。
推论1:过直线的直线外一点有且只有一个平面。
若,则点a和确定平面。
推论2:过两条相交直线有且只有一个平面。
若,则确定平面。
推论3:过两条平行直线有且只有一个平面。
若,则确定平面。
公理2及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:(1)判定两个平面是否相交的依据;(2)证明点共线、线共点等。
4、公理4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行。
公理4作用:证明两直线平行。
5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系:平行、相交、异面。
1)没有任何公共点的两条直线平行。
2)有一个公共点的两条直线相交。
3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。
7、线面位置关系:
1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点;
2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点;
3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点;
8、面面位置关系:平行、相交。
9、线面平行:(即直线与平面无任何公共点)
判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)
证明两直线平行的主要方法是:
①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半;
②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行;
③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;
④平行线的传递性。
⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
⑥垂直于同一平面的两直线平行。
直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和它们的交线平行;(上面的③)
10、面面平行:(即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
判定定理的推论: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两平面平行。
(2)两平面平行的性质:
性质ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;
性质ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;
性质ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
性质ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;
11、线面垂直:
定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。
判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
性质ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。
性质ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行
12、面面垂直:
定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
(只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)
性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
证明两直线垂直和主要方法:
利用勾股定理证明两相交直线垂直;
利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;
利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);
利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”,“线斜垂”)
利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。
空间角及空间距离的计算。
1.异面直线所成角:使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一条上取一点,过该点作另一条直线平行线,2.
斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:
pa是平面的一条斜线,a为斜足,o为垂足,oa叫斜线pa在平面上射影,为线面角。
3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角,二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直。
用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:
明确构成二面角两个半平面和棱;
明确二面角的平面角是哪个?
而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)
4.异面直线间的距离:指夹在两异面直线之间的。
公垂线段的长度。如图是两异面直线间的距离。
(异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线)
5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的。
射影的连线段的长度。
如图:o为p在平面上的射影,线段op的长度为点p到平面的距离。
求法通常有:定义法和等体积法。
等体积法:就是将点到平面的距离看成是。
三棱锥的一个高。如图在三棱锥。
中有: 第三章直线与方程。
1.直线方程的概念:一条直线与一个二元一次方程有如下两个对应:
①直线上任意一点的坐标都满足方程 ;
②以方程的解为坐标的点都在直线上。
则称方程为直线的方程,直线为方程的直线。
2.直线倾斜角的定义:把直线向上的方向与轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。
3.直线倾斜角的范围:,当直线与轴平行或者是重合时,倾斜角为。
4.直线斜率的定义:倾斜角不为直线,倾斜角的正切值叫直线的斜率。
记作。当倾斜角为时直线的斜率不存在。
5、直线过点,则直线的斜率为:
6、直线方程的表示形式:
点斜式:,当斜率不存在时,直线与轴垂直,倾斜角为,此时直线方程为:,如右图,特别地轴所在。
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