第1讲第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征。
知识要点：1.下列说法错误的是（ ）
a.多面体至少有四个面b.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形。
c.长方体、正方体都是棱柱d.三棱柱的侧面为三角形答案：d
2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为cm答案：12
3.在本节我们学过的常见几何体中，如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是。
答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥。
第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征。
例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）
a. 1个 b. 2个 c. 3个 d. 4个选d.
例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为，求球的半径。
解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为r+r，梯形的高即球的直径为，所以，球的半径为。
第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图。
例题精讲：【例1】画出下列各几何体的三视图：
解： 例2】画出下列三视图所表示的几何体。
解：例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm），所给的方向为物体的正前方。 试分别画出它们的三视图。解。第。
第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图。
知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法。 基本步骤如下：
（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，得到直角坐标系，直观图中画成斜坐标系，两轴夹角为。(2）平行不变：
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段。（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积。
学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题。
知识要点：例题精讲：
例1】已知圆台的上下底面半径分别是，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长。解：
例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积。
解：.第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积。
知识要点：1. 体积公式：
2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体。 因而体积会有以下的关系：
例题精讲：【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是，则长方体的体积是 .解：设长方体的长宽高分别为，则，三式相乘得。所以，长方体的体积为6.
例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积v与x的函数关系式，并求出函数的定义域。
解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为。
在中，, 所以， 于是。依题意函数的定义域为。
例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .
解：容器中水的体积为。流出水的体积为，如图，.设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则，解得。
第7讲 §1.3.2球的体积和表面积。
知识要点：1. 表面积： （r：球的半径）. 2. 体积：.
例题精讲：【例2】表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，，，又。
例3】设a、b、c、d是球面上的四个点，且在同一平面内，ab=bc=cd=da=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是a． b． c． d．
解】由已知可得，a、b、c、d在球的一个小圆上。∵ ab=bc=cd=da=3， ∴四边形为正方形。 ∴小圆半径。
由得，解得。∴ 球的体积。 所以选a.
第8讲 §2.1.1 平面。
知识要点：1. 点在直线上，记作；点在平面内，记作；直线在平面内，记作。
2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：
3.公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
例题精讲：例1】如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线是否共面？
例2】空间四边形abcd中，e、f、g、h分别是ab、bc、cd、da上的点，已知ef和gh交于p点，求证：ef、gh、ac三线共点。
解：∵pef，ef面abc，∴p面abc. 同理p面adc.∵ p在面abc与面adc的交线上，又 ∵面abc∩面adc=ac， ∴pac，即ef、hg、ac三线共点。
例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内。
已知：直线两两相交，交点分别为，求证：直线共面。
证明：因为a，b，c三点不在一条直线上，所以过a，b，c三点可以确定平面α． 因为a∈α，b∈α，所以ab α．同理bc α，ac α.所以ab，bc，ca三直线共面．
例4】在正方体中，1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？
3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线。
解：（1）在正方体中，∵，由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内。
2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面，∴ 点在同一平面内。
3）∵，点平面，平面，又平面，平面， ∴平面平面，同理平面平面．
第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系。
知识要点：1.空间两条直线的位置关系：
2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作。
求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算。
例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，p为空间一定点，则过点p且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）
a. 1条 b. 2条 c. 3条 d. 4条。
解：过p作∥a，∥b，若p∈a，则取a为，若p∈b，则取b为．这时，相交于p点，它们的两组对顶角分别为50°和130°. 记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线． 过点p与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选b.
例2】如图正方体中，e、f分别为d1c1和b1c1的中点，p、q分别为ac与bd、a1c1与ef的交点。 （1）求证：d、b、f、e四点共面；（2）若a1c与面dbfe交于点r，求证：
p、q、r三点共线。
证明：（1）∵ 正方体中， ，又 ∵中，e、f为中点即d、b、f、e四点共面。（2）∵，又即p、q、r三点共线。
例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于a、b、c，求证：a、b、c、d四线共面。
证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得。
又因为直线d与a、b、c分别相交于a、b、c，由公理1，.
假设，则， 在平面内过点c作，因为b//c，则，此与矛盾。 故直线。
综上述，a、b、c、d四线共面。
例4】如图中，正方体abcd—a1b1c1d1，e、f分别是ad、aa1的中点。（1）求直线ab1和cc1所成的角的大小；（2）求直线ab1和ef所成的角的大小。
解：（1）如图，连结dc1 ， dc1∥ab1，∴ dc1 和cc1所成的锐角∠cc1d就是ab1和cc1所成的角。∵ cc1d=45°， ab1 和cc1所成的角是45°.
（2）如图，连结da1、a1c1， ∵ef∥a1d，ab1∥dc1，∴ a1dc1是直线ab1和ef所成的角。 ∵a1dc1是等边三角形， ∴a1dc1=60，即直线ab1和ef所成的角是60.
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