2024年全国初中数学联赛（初三组）初试解答。
一、 选择题（本大题满分42分，每小题7分）
1. 已知，则，，的大小关系是（ ）
a． b．
cd． 解：由，得，从而，所以，又，所以．
故选d．2. 如图，正方形abcd，点p是对角线ac上一点，连接bp，过p作pq⊥bp，pq交cd于q，若ap＝cq＝2，则正方形abcd的面积为。
ab．16cd．32
解：如图，过p分别作pe、pf、pg垂直于ab、cd、ad，垂足分别为e、f、g．易证rt△epb≌rt△fqp≌rt△fdp，所以fq＝fd＝ep＝，因此正方形abcd的边长为，所以面积为．
故选c．3. 若实数，满足，则的取值范围是（ ）
abcd．
解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式。
解得．故选a．
4. 如图，在四边形abcd中，∠b=135°，∠c=120°，ab=，bc=，cd=，则ad边的长为（ ）
ab． cd．
解：过a和d点向bc作垂线，垂足为m和n，那么bm=am=，cn=3，dn=，所以48，所以ad=．
故选b．5. 方程的正整数解的组数是（ ）
a．0b．1c．3d．5
解：不妨设，则，所以，解得．
又显然，即．经验证：均不符合条件．
所以，符合条件的解的组数为0组．故答案选a．
6. 已知实数满足，则的值是（ ）
ab．0c．1d．2
解：显然，否则。
由已知得。即。
所以．故选b．
二、 填空题（本大题满分28分，每小题7分）
1. 是正整数，○x表示的正约数个数，则③×④等于。
解：③，所以③×④故填．
2. 草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是。
解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草．
因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组。
由得．代入中，得，解得．
故填96．3. 如图，在平行四边形abcd中，m、n分别是bc、dc的中点，am=4，an=3，且，则ab的长是。
解：延长am交dc的延长线于f，则△amb≌△fmc．
则cf=ab，则nf=，过n作nh垂直af于h，则ah=，，故，所以．
故填．4. 小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是。
解：依题意得，所以，即，所以n=60或61．
因为是整数，所以n=61．
所以漏输入的数为．
故填46．三、 （本大题满分20分）
解方程．解：当时，原方程可化为，解得，．
又因为，故应舍去． 10分。
当时，原方程可化为，解得，．
又因为，故应舍去．
所以原方程的解为和． 20分。
四、 （本大题满分25分）
如图，圆内接四边形abcd中，cbcd，求证：；
证明：连结bd、ac交于点e，则，所以△∽△5分。
所以，所以． 10分。
又，所以△∽△15分。
所以，所以， 20分。
所以，所以． 25分。
五、 （本大题满分25分）
已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，．(r)．
1）求证：两函数的图象有两个不同的交点a、b；
2）过（1）中的两点a、b分别作x轴的垂线，垂足为a1、b1．求线段a1b1的长的取值范围．
1）证明：由消去y得， 5分，，．即两函数的图象有两个不同的交点． 10分。
2）解：设方程的两根为和，则x1+x2，x1x2． 15分。
． 20分，∴，解得．，故． 25分。
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