定理2：不定方程x2+y2=z2满足（x，y）=1，x，y，z＞0，2|x的全部整数解可表示为x=2ab，y=a2－b2，z=a2+b2。其中a＞b＞0，a、b一奇一偶，（a，b）=1为任意整数。
四、例题与练习。
1、右表的结构为：第一行是以1为首项，3为公差的无穷等差数列；第一列中的数与第一行中的数对应相等；第n（n≥2）行是公差为2n+1的无穷等差数列。证明：
⑴若n在表中，则2n+7不是素数；⑵若n不在表中，则2n+7是素数。
2、证明：若正整数x、y使得2xy | x2+y2－x，则x是完全平方数。
3、证明：存在一个1997的整倍数，它不超过11位，且各位数字不含2，3，4，5，6，7。
4、设c为奇自然数，且存在自然数a≤求证：c为合数。
5、求最大的正整数x，使得对任意y∈n，有x|（712y1）
6、证明：方程x5y无整数解。7、求方程532的全部整数解。
8、给数集m=（n≥3）中的数染色，满足⑴i与n－i同色；⑵有一个k∈m，（k，n）=1，使得当i≠k时i与|k－i|同色，求证：m中有一色。xy
c1，使（2a－1）2+8c为平方数，3y
9、在一个圆周上标记了4个整数，规定一个方向，使每个整数都有相邻的下一个数，每一步操作是指对每一个数，同时用该数与下一个数之差来替换，即对于a、b、c、d依次用a－b、b－c、c－d、d－a来替换。问经过1996步这样的替换之后，是否可以得到4个数a、b、c、d，使得|bc－ad|、|ac－bd|、|ab－cd|都是素数。（imo－37预选题）
12310、求所有大于3的自然数n，使得1+cn整除2cncn
cmo－
11、有多少个正整数对x、y，x≤y，使得（x，y）=5！和[x，y]=50！成立？（2023年加拿大）
12、设w（n）表示自然数n的素因数的个数，n＞1。证明：存在无穷多个n，使得w（n）＜w（n+1）＜w（n+2）。
13、求最小的整数n（n≥4），满足从任意n个不同的整数中能选出四个不同的数a、b、c、d，使a+b－c－d可以被20整数。
14、求所有实数对（a，b），使对所有的正整数n满足a[bn]=b[an]，其中[x]表示不超过x的最大整数。（imo－39预选题）
数学高中竞赛之初等数论
初等数论。一 整除性理论。1 整除的部分性质 若c b，b a，则c a若c a，d b，则cd ab 若c a，c b，则c ka nb 若c a，c b，则c a b 若ma mb，则a b若a 0，b 0，b a，则b a 若n n 则 a b a n b n 若n为奇数，则 a b a n ...
高中数学竞赛
高一思维训练班。集合部分。例1 集合a，b是i 的子集，1 若，求有序集合对 a，b 的个数 2 求i的非空真子集的个数。例2 给定集合的个子集 满足任何两个子集的交集非空，并且再添加i的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求的值。例3 求1，2，3，100中不能被2，3，5整除的数的个数。例4 s...
高中数学暑假作业集合 函数 基本初等函数4函数的性质 一
新学期新成绩新目标新方向。四 函数的性质 一 一 选择题 共12小题 1 若方程f x 2 0在 0 内有解，则y f x 的图象是 a b c d 2 函数y x m，n 最小值为0，则m的取值范围是 a 1，2 b 1，2 c 1，2 d 1，2 3 已知函数f x 满足f x f 且当x 1 ...