竞赛模拟试题2
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．两条不垂直的异面直线、上，有四个不同的点，其中，对于下列两个命题：
直线与总是异面直线；
（2）点总是不能成为1个正四面体的4个顶点。
其中正确的命题是（ ）
a）① b）② cd）①与②都不对。
答案：c 解：①正确。
假设直线与不是异面直线，则四点共面，从而、共面与异面直线、矛盾，故直线与是异面直线。②正确。假设四面体是正四面体，则棱与垂直，与题设条件直线、不垂直矛盾。
2．设，且，则的最大值为（ ）
ab） （c） （d）
答案：b.解：
3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，在椭圆的离心率为（ ）
a） （b） （c） （d）
答案：c.解：设椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别是、、，离心率为（）
则，消去，得，即解得，或（舍）
4．方程的7个根在复平面上对应了7个点，这些点在四个象限中只有1个点的象限是（ ）
a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象限。
答案：c.解：
由复数的开方，得7个复数方根为，其中，
容易得。只有是第三象限的角。
5．一个三角形的三边恰为，则这个三角形中的最大角为（ ）
a） （b） （cd）
答案：b.解：由，得。
容易判断。为三角形的最大边，设它的对角为（）则。
6．函数，对任意的实数，只要，就有成立，则函数（）的奇偶性为（ ）
a）一定是奇函数b）一定是偶函数
c）既是奇函数，又是偶函数d）既不是奇函数，又不是偶函数。
答案：c.解：∵
又。 即其中（）又。
函数（）既是奇函数，又是偶函数。
二、填空题（每小题9分，共54分）
7．设正数数列的前项之和为，数列的前项之积为，且，则数列中最接近2008的数是。
答案：1980 解：由已知， ，
是以2为首项，以1为公差的等差数列。
数列中最接近2008的数是1980
8．函数对一切实数满足：，且。
则在上至少有个零点。
解：∵ 是以6为周期的函数。
又。一个周期内至少有2个零点，而在有7个周期。
在上至少有14个零点。
9．给图中6块区域进行染色，每块区域只染一种颜色，相邻的区域不同色，若共有4种颜色供选择，则共有种不同的染色方案。
答案：96 解：的颜色两两不同，它们有种染色方法。
对其中任一种染色方法。
不妨设染色，染色，染色，另一种颜色为色。
则可染、，可染、，可染、
而、、两两相邻，至多一个染色。
若、、其中一个染色，则共有三种染色方法，若、、都不染色，则只有一种染色方法，所以共有4种染色方法。
所以不同的染色方法有钟。
10．函数（是自变量）的图像与轴依次相交于、、，其中直线及与三次曲线分别相切于和（与不重合，与不重合）.则与在轴上的射影之比等于。
答案： 解：设、、，
则 （1）由已知，经过的直线的斜率存在。
设经过的直线为与（1）相交于两点，这两点的横坐标由给出。当这两点重合于点，即这条直线与相切。
则， 点在轴上的射影是中点。
同理在轴上的射影是中点。
于是与在轴上的射影之比为（与在轴上的射影方向相反）
11．的整数部分和小数部分分别是、，则。
答案：1 解：考虑。
由二项式定理，是整数，即是整数， 又是整数 ∴是整数。
又， ∴12．关于的方程有实根，则实数的取值范围为。
答案：. 解：令，则。
问题转化为方程在内有实根。
令。则有，解得。
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．双曲线的右焦点为，右准线为。椭圆以和为其对应的焦点及准线，过作一条平行于的直线交椭圆于点和。已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围。
解：由，得。
双曲线的中心，右焦点为，
设是椭圆上任意一点，是椭圆的长轴长，椭圆的焦距，设则 （1）
又直线的方程为 （2）
由（1）（2）得。
由题意知、是这个方程的两个根。
圆心坐标为。
又在椭圆中，由，得。
又∴∴椭圆的中心坐标为，
又在以为直径的圆内 ∴
整理得 ∴∴即。
14．设，都是实数，证明：
证明：设，设与之间的夹角为， 与之间的夹角为，与之间的夹角为。
则问题转化为证明。
只要证。只要证。
只要证。又、、满足。若则。若∴
综上。又
原不等式成立。
15．设正系数一元二次方程有实根，证明：
证明：设，则，，
设正系数一元二次方程有实根为。
则，∴，假设，，
即。与矛盾。
不都大于，即。
第二试（满分150分）
一、设的外接圆上的一点关于中点的对称点为，为的垂心，直线交于，为直线上一点，求证：
证明：设中点为，为的垂心， ∴
设是关于的对称点。
则四边形、是平行四边形。
在的外接圆上，
又。为的外接圆的直径。
共圆。二、求出所有满足下列条件的正整数数列（1）对每个正整数，（2）对任意不同的正整数，有。
解：当时，由（1），∴
当时，，∴或。
当时，由（2），令，得。令，得。
若 ∴，即。
由（1）知 ∴
令，则有，即。
令。 ∴在上是增函数。
即当时，与矛盾。
当时， 再由（2），当时，，即有无穷多个正约数。
同样，可以求出 ∴所求数列为。
当时，令，则。
且，且，则。
数列也满足（1）（2），这样问题就转化为①
由①得， ∴
所求数列为，综上，所求数列为或。
三、已知是定义在自然数集上的函数，满足，且对任意，有，求。
解：把代入得。
整理得令。得。
将上面各式相加，得。
整理得。所求函数为。
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