例1】求下列函数的增区间与减区间。
1)y=|x2+2x-3|
解 (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
先作出f(x)的图像,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像,如图2.3-1所示.
由图像易得:
递增区间是[-3,-1],[1,+∞
递减区间是(-∞3],[1,1]
2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间.
解当x-1≥0且x-1≠1时,得x≥1且x≠2,则函数y=-x.
当x-1<0且x-1≠-1时,得x<1且x≠0时,则函数y=x-2.
增区间是(-∞0)和(0,1)
减区间是[1,2)和(2,+∞
3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1.
令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3,-1]上是在x∈[-1,1]上是.
函数y的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1].
例2】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[1,+∞上是增函数,求实数a的取值范围.
解当a=0时,f(x)=x在区间[1,+∞上是增函数.
若a<0时,无解.
a的取值范围是0≤a≤1.
例3】已知二次函数y=f(x)(x∈r)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线,试比较大小:
1)f(6)与f(4)
解 (1)∵y=f(x)的图像开口向下,且对称轴是x=3,∴x≥3时,f(x)为减函数,又6>4>3,∴f(6)<f(4)
时为减函数.
解任取两个值x1、x2∈(-1,1),且x1<x2.
当a>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数.
当a<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.
例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x3+1在(-∞上是减函数.
证取任意两个值x1,x2∈(-且x1<x2.
又∵x1-x2<0,∴f(x2)<f(x1)
故f(x)在(-∞上是减函数.
得f(x)在(-∞上是减函数.
解定义域为(-∞0)∪(0,+∞任取定义域内两个值x1、x2,且x1<x2.
当0<x1<x2≤1或-1≤x1<x2<0时,有x1x2-1<0,x1x2>0,f(x1)>f(x2)
f(x)在(0,1],[1,0)上为减函数.
当1≤x1<x2或x1<x2≤-1时,有x1x2-1>0,x1x2>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在(-∞1],[1,+∞上为增函数.
根据上面讨论的单调区间的结果,又x>0时,f(x)min=f(1)=2,当x<0时,f(x)max=f(-1)=-2.由上述的单调区间及最值可大致。
说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小.
2°注意对参数的讨论(如例4).
3°在证明函数的单调性时,要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等.(如例5)
4°例6是分层讨论,要逐步培养.
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