数形结合思想。
1．转换数与形的三条途径：
通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
一、 函数的图像与性质。
例1】 在下列图象中，二次函数与指数函数的图象只可能是（ ）
例2】 如图所示，单位圆中弧ab的长为x,表示弧ab与弦ab所围成的弓形面积的２倍，则函数的图象是（ ）
例3】 某地一年内的气温(单位：℃)与时间(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令表示时间段的平均气温，与之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）
例4】 函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ）
例5】 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称。现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（ ）
ab． cd．
例6】 已知函数，将的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象，则函数的最大值为。
例7】 对函数定义域中任一个x的值均有，(1)求证的图象关于直线对称；(2)若函数对一切实数x都有，且方程恰好有四个不同实根，求这些实根之和。
例8】 设，若，且，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
例9】 (丰台2011一模)对于定义域和值域均为的函数f(x)，定义，，…n=1，2，3，…．满足的点称为f的阶周期点．设则f的阶周期点的个数是。
例10】 （门头沟2011一模）设函数，则函数。
a) 在区间内均有零点
b) 在区间内均无零点。
c) 在区间内有零点，在区间内无零点。
d) 在区间内无零点，在区间内有零点。
例11】 直线与曲线有四个交点，则的取值范围是。
例12】 （湖南2010理）用表示两数中的最小值．若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）
a．-2 b．2 c．-1 d．1
例13】 （浙江2010理）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，p中函数的图象恰好经过q中两个点的函数的个数是（ ）
a．4 b．6 c．8 d．10
二、 函数的综合。
例14】 （海淀2010期中）已知函数，的图象经过和两点，如图所示，且函数的值域为。过动点作轴的垂线，垂足为，连接。
i）求函数的解析式；
ⅱ）记的面积为，求的最大值。
例15】 已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12.
i）求的解析式；
ii）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
例16】 （宣武模拟）已知：函数，其中表示不超过的最大整数。如
（1）判断的奇偶性；
（2）若求的值域；
（3）若的值域为，现将，中的元素的个数记为。试求与的关系，并进一步求出的表达式。
例17】 （海淀模拟）已知函数的定义域为，且满足下列条件：
对于任意，总有，且；
若则有。ⅰ）求的值；
ⅱ）求证：
ⅲ）当时，试证明：.
例18】 （海淀模拟）已知函数，满足：
对任意，都有；
对任意都有。
i）试证明：为上的单调增函数；
ii）求；iii）令，试证明：.
例19】 （东城模拟）已知函数满足下列条件：
1）函数定义域为；
2）对于任意，且，；
3)对于满足条件的任意两个数，有。
ⅰ）证明：对于任意的，有；
ⅱ）证明：对于任意的，有；
ⅲ）不等式对于一切都成立吗？
例20】 （海淀模拟）一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长都在的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”．
i）判断，，中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
ii）如果是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“保三角形函数”；
iii）若函数， 是“保三角形函数”，求的最大值．
可以利用公式）
例21】 （石景山模拟）对于定义域为的函数，若同时满足：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把函数（）叫做闭函数．
ⅰ）求闭函数符合条件②的区间；
ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
ⅲ）若是闭函数，求实数的取值范围．
例22】 （海淀模拟）已知定义在上的函数满足：，，且对于任意实数，总有
成立。i）求的值，并证明函数为偶函数；
ii）定义数列：，求证：为等比数列；
iii）若对于任意非零实数，总有。设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论。
例23】 （崇文模拟）已知函数和．其中．
ⅰ）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；
ⅱ）若函数与图像相交于不同的两点a、b，o为坐标原点，试问：△oab的面积s有没有最值？如果有，求出最值及所对应的的值；如果没有，请说明理由．
ⅲ）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．
1. 讨论函数单调性必须在定义域内进行，即函数的单调增减区间是其定义域的子集，因此讨论函数单调性，必须先确定函数的定义域。
2. 函数的单调性是一个“区间概念”，即使一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数，也不能说这个函数在其定义域上增（减）函数。
3. 函数单调性的变化是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，在判断其增减性，是求最值和值域的前提，当然，函数图像也是函数单调性的最直观体现。
4. 函数可以是奇函数也可以是偶函数，也可以是既是奇函数又是偶函数，也可以两者都不是，但是必须的注意的是，研究函数的奇偶性必须明确函数的定义域是否关于原点对称。
5. 综合利用函数的性质和图像，利用数形结合思想，分类讨论思想，函数与方程的思想综合解答函数。
习题1】 （丰台2011二模）已知a>0且a≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是（ ）
习题2】 （东城2011一模）已知函数对任意的有，且当时，，则函数的大致图像为。
ab）cd）
习题3】 （北京2011理）设a（0，0），b（4，0），c（，4），d（t，4）（）记n（t）为平行四边形abcd内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数n（t）的值域为 a．c．
习题4】 （新课标2011理）函数的图像与函数的图像所有交点横坐标之和等于（ ）
a.2 b.4 c.6d.8
习题5】 （海淀2010期中）已知函数，则的最小值为
a． -4b． 2 cd．4
习题6】 定义域和值域均为（常数）的函数和的图像如图所示，给出下列四个命题：
1）方程有且仅有三个解；
2）方程有且仅有三个解；
3）方程有且仅有九个解；
4）方程有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是。
05函数的图像
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