2014-2015学年度高考模拟卷。
学校姓名班级考号。
一、填空题（题型注释）
1．已知集合，，则= ．
2．若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是 ．
3．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，…则抽取的人中，编号在区间内的人数是 ．
4．在如图所示的算法中，输出的的值是 ．
5．已知是等差数列，若，则的值是 ．
6．若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是 ．
7．在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是 ．
8．若，则的值是 ．
9．若，，是实数，则的最大值是 ．
10．如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且m为的中点，则三棱锥的体积是 ．
11．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是 ．
12．已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 ．
13．如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是 ．
14．已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题。
15．已知的内角的对边分别为，．
1）若，，求的值；
2）若，求的值．
16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．
1）求证：；
2）若平面与平面的交线为，求证：．
17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km, 为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段。设，观光路线总长为。
1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；
2）求观光路线总长的最大值。
18．已知函数（其中是自然对数的底数），，
1）记函数，且，求的单调增区间；
2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.
1）若直线，互相垂直，求圆的方程；
2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；
3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
20．已知数列是等差数列，其前n项和为sn，若，．
1）求；2）若数列满足条件：，当时，－，其中数列单调递增，且，．
试找出一组，，使得；
证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．
21．已知二阶矩阵a有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵a．
22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线的极坐标方程．
23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．
1）当时，求异面直线与所成角的大小；
2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
24．已知数列的各项均为正整数，对于任意n∈n*，都有成立，且．
1）求，的值；
2）猜想数列的通项公式，并给出证明．参***。
解析】因为集合，，所以；则。
考点：集合的运算。
解析】=为纯虚数，则，解得。
考点：复数的运算。
解析】根据题意，将420人分成21组，每组20人，即在编号为中随机抽取一个编号，则依次抽取的编号为，形成一个等差数列；在内抽取的人数为。
考点：系统抽样。
解析】由题意，得：当时，；当时，；当时，；当时，；因为，程序结束，输出。
考点：算法语句。
解析】由等差数列的性质，得，所以可化为，即。
考点：等差数列。
解析】将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限的不同方法有中；在，号盒子中各有一个球的不同方法有种；所以在，号盒子中各有一个球的概率。
考点：古典概型。
解析】因为双曲线的渐近线方程是，即，所以设双曲线的方程为；代入，得，即双曲线的方程为。
考点：双曲线的性质。
解析】.考点：诱导公式、二倍角公式。
解析】，，即，则，化简得，即，即的最大值是2.
考点：基本不等式。
解析】在正三棱锥中，,则又因为是正三角形的中线，则；
所以，则。考点：几何体的体积。
解析】设，则，；因为为奇函数，所以；
解得，即不等式的解集为。
考点：函数的奇偶性、解不等式。
解析】由光学知识，得反射光线经过点关于直线的对称点与；则，解得；所以反射光线所在直线方程为，即。
考点：直线方程、点关于直线对称。
解析】以为建立直角坐标系，则，；因为的在的内部（不含边界），所以，解得；则=；因为。
所以的范围是。
考点：平面向量的数量积运算。
解析】=，则；则可化为；而；若关于的不等式的解集为空集，则，则，解得。
考点：解二次不等式。
解析】试题分析：（1）由余弦定理，得到关于的方程进行求解；（2）利用三角形的内角和定理与两角和的正切公式进行求解。
试题解析：（1）由余弦定理得，，
因为，所以，即
解之得，（舍去）．
所以。2）因为，所以。
所以．考点：1.余弦定理；2.三角形的内角和定理；3.两角和的正切公式．
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
解析】试题分析：（1）连接ac，交bd于点o，连接po，利用三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，再证明线线垂直；（2）利用线面平行的判定定理与性质定理进行证明。
试题解析：（1）连接ac，交bd于点o，连接po．
因为四边形abcd为菱形，所以
又因为，o为bd的中点，
所以。又因为
所以，又因为
所以。2）因为四边形abcd为菱形，所以
因为．所以。
又因为，平面平面．
所以．考点：1.空间中的垂直关系；2.空间中的平行关系．
解析】试题分析：（1）利用弧长公式表示ac弧长，利用直角三角形求弦cd即函数的定义域；（2）利用导数求函数的极值，即最大值。
试题解析：（1）由题意，得：；因为c为圆周上靠近a的一点，d为圆周上靠近b的一点，且，所以，，；
2）设，则；令，得；当时，；当时，；所以在处取得极大值，即最大值，即观光路线总长的最大值为．
考点：1.函数的定义域；2.函数的极值．
18．（1）的单调增区间为和；（2）．
解析】试题分析：（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）讨论函数的单调性，去掉绝对值符号，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题。
试题解析：（1）因为，所以。
令，因为，得或，
所以的单调增区间为和；
2）因为对任意且，均有成立，不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，所以对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，当在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，解得。
当在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因为在上递减，在上单调递增，所以在上取得最小值，所以。
所以实数的取值范围为．
考点：1.导数的应用；2.不等式恒成立问题．
19．（1）；（2）；（3）定值为36．
解析】试题分析：（1）因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以；再结合点在椭圆上，得到关于的方程组进行求解；（2）设出的直线方程，利用直线与圆相切，得到与的关系；再根据在椭圆上，得出关系，整理即可；（3）分别联立两直线与椭圆的方程，得出的关系，借助进行证明。
试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，①
又点在椭圆上，所以，②
联立①②，解得。
所以所求圆的方程为．
2）因为直线：，：与圆相切，所以，化简得。
同理，所以是方程的两个不相等的实数根，因为点在椭圆c上，所以，即，所以，即．
3）是定值，定值为36，理由如下：
法一：（i）当直线不落在坐标轴上时，设，联立解得。
所以，同理，得，由，所以。
ii）当直线落在坐标轴上时，显然有，综上：．
法二：（i）当直线不落在坐标轴上时，设，因为，所以，即，
因为在椭圆c上，所以，
即。所以，整理得，所以，
所以． ii）当直线落在坐标轴上时，显然有，综上：．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系；3.定值问题．
20．（1）；（2）①，证明见解析．
解析】试题分析：（1）设数列的首项为，公差为，利用基本量表示有关量进行求解；（2）先根据固定，再根据，验证是否存在符合题意；由的结论。先猜后证。
试题解析：（1）设数列的首项为，公差为，由，，得，
解得，所以。
2）①因为，若，因为，所以，，此方程无整数解；
若，因为，所以，，此方程无整数解；
若，因为，所以，，解得，所以，满足题意。
由①知，，，则，一般的取，
此时，则＝－＝所以为一整数平方．
因此存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．
考点：1.等差数列；2.等比数列；3.新定义题目．
解析】试题分析：设出二阶矩阵，利用待定系数法进行求解。
试题解析：设矩阵，这里，因为是矩阵a的属于的特征向量，则有 ①，又因为是矩阵a的属于的特征向量，则有②
根据①②，则有
从而所以。考点：1.矩阵；2.矩阵的特征向量；3.矩阵的特征量。
解析】试题分析：先将参数方程转化为普通方程，再建立恰当的极坐标系，将普通方程转化为极坐标方程。
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