2023年江苏高考数学模拟试卷（一）
第ⅰ卷 （必做题分值160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集，集合，则 ▲
2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则z2的模为 ▲
3．抛物线的焦点坐标是 ▲
4．已知直线，．则“”是“∥”的 ▲ 条件．
5．当向量，时，执行如图所示的程序框图，输出的值为 ▲
6．为了解某年级女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示．由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的概率为 ▲
7．定义在r上的偶函数（其中为常数）的最小值为2，则 ▲
8．设不等式组表示的平面区域为，是区域d上任意一点，则的最小值是 ▲
9．已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为 ▲
10．已知，则= ▲
11．已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是 ▲
12．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 ▲
13．已知等差数列的公差不为，等比数列的公比是小于的正有理数．若，且是正整数，则等于 ▲
14．在等腰三角形中，，**段上，（为常数，且），为定长，则的面积最大值为 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
函数的部分图象如图所示．
1）写出及图中的值；
2）求在区间上的最大值和最小值．
16．（本小题满分14分）
如图所示，在三棱柱中， 为正方形，是菱形，平面平面．
1）求证：平面；
2）求证：；
3）设点分别是的中点，试判断四点是否共面，并说明理由．
17．（本小题满分14分）
如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角．
1）求的长度；
2）**段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？
18．（本小题满分16分）
已知椭圆e：的离心率为，且过点．右焦点为f，点n（2,0）．
1）求椭圆e的方程；
2）设动弦ab与x轴垂直，求证：直线af与直线bn的交点m仍在椭圆e上．
19．（本小题满分16分）
已知函数．1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
2）当时，求证：；
3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
20．（本小题满分16分）
数列的前项和为，且满足，（为常数，）．
1）若，求；
2）若数列是等比数列，求实数的值．
3）是否存在实数，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由．
第卷 （附加题分值40分）
21．【选做题】在a，b，c，d 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a．选修4—1：几何证明选讲。
如图，是外一点，为切线，割线经过圆心，若，，求的度数．
b．选修4—2：矩阵与变换
将曲线y＝2sin4x经矩阵m变换后的曲线方程为y＝sinx，求变换矩阵m的逆矩阵．
c．选修4—4：坐标系与参数方程。
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为．
1）求曲线的直角坐标方程；
2）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值．
d．选修4—5：不等式选讲。
已知且，求证：．
必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，已知三棱柱abc—a1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1＝ab＝ac＝1，ab⊥ac，m、n分别是cc1、bc的中点，点p在直线a1b1上，且满足（r）．
1）证明：pn⊥am；
2）若平面pmn与平面abc所成的角为45°，试确定点p的位置．
23．（本小题满分10分）
已知数列满足：．
1）若，求数列的通项公式；
2）若，试证明：对，an是4的倍数．
2023年江苏高考数学模拟试卷（一）
第ⅰ卷参***与解析。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 2．5 3． 4．充分不必要 5．2 6．0.625 7．2
解析：4．,7．由题意为偶函数，故，又的最小值为2，所以，所以。
10．，，故。
12．设，，所以，所以。
13．，令，为正整数，所以，解得，经验证时，
14．如图，以b为原点，bd为x轴建立直角坐标系xby．设a(x，y)，y>0．
因ad=kac =kab，故ad2=k2ab2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)．
所以， =于是，，，
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）的值是．的值是．
2）由（1）可知：．因为，所以．
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值0．
16．证明：（1）在菱形中，∥．
因为平面，平面，所以平面．
2）连接．在正方形中。
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．
因为平面， 所以。
在菱形中，．
因为平面，平面，，所以平面。
因为平面， 所以。
3）四点不共面． 理由如下。
因为分别是的中点，所以∥．
同理可证：∥．
因为平面，平面，，平面，平面。
所以平面∥平面．
因为平面，所以平面，即四点不共面．
17．解：（1）作，垂足为，则，，设，则，化简得，解之得，或（舍）
答：的长度为．
2）设，则，设，，令，因为，得，当时，，是减函数；
当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值，因为恒成立，所以，所以，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．
答：当为时，取得最小值．
18．（1）解：因为，所以，b=c，即椭圆e的方程可以设为．
将点p的坐标代入得：，所以，椭圆e的方程为．
2）证明：右焦点为f（1,0），设，由题意得．
所以直线af的方程为。
直线bn的方程为。
联立得，即，在代入得，，即．
所以点m的坐标为。
又因为 将代入得，所以点m在椭圆e上．
19．（1）解：． 因为切线过原点，所以，解得。
2）证明：设，则．
令，解得．
在上变化时，的变化情况如下表。
所以当时，取得最小值。
所以当时，，即．
3）解：等价于，等价于．注意．
令，所以．）当时，，所以无零点，即f(x)定义域内无零点．
）当时，（）当时，，单调递增；
因为在上单调递增，而，又，所以．
又因为，其中，取，表示的整数部分．所以，，由此．
由零点存在定理知，在上存在唯一零点．
）当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，有极小值也是最小值，．
当，即时，在上不存在零点；
当，即时，在上存在惟一零点2；……12分。
当，即时，由有，而，所以在上存在惟一零点；
又因为，．令，其中，所以，因此在上单调递增，从而，所以在上单调递增，因此，故在上单调递增，所以．
由上得，由零点存在定理知，在上存在惟一零点，即在上存在唯一零点。
综上所述：当时，函数f(x)的零点个数为0；
当时，函数f(x)的零点个数为1；
当时，函数f(x)的零点个数为2；
当时，函数f(x)的零点个数为3．
20．解：（1）因为，所以，．
因为，所以，即．
所以．所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
所以． 2）若数列是等比数列，则．
由（1）可得：．解得：．
当时，由得：．
显然，数列是以1为首项，1为公比的等比数列．
所以． 3）当时，由（2）知：．
所以，即数列就是一个无穷等差数列．
所以当时，可以得到满足题意的等差数列．
当时，因为，，即，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．
所以．下面用反证法证明：当时，数列中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列．
假设存在，从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为． 设数列的公差为．
当时，．所以数列是各项均为正数的递减数列．
所以．因为，所以当时，，这与矛盾．
当时，令，解得：．
所以当时，恒成立．
所以数列必然是各项均为负数的递增数列．
所以．因为，所以当时，，这与矛盾．
综上所述，是唯一满足条件的的值．
第卷参***与解析。
21、【选做题】在a、b、c、d 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
a．选修4—1：几何证明选讲。
解：连结，为切线，为割线， ，又，， 为切线，为切点，
在中，，，b．选修4—2：矩阵与变换
解：由条件知点(x，y)在矩阵m作用下变换为点，即m＝，所以m＝，设m－1＝，于是有mm－1＝＝，所以，解得，所以m的逆矩阵为．
c．选修4—4：坐标系与参数方程。
解：（1）由，得。
所以曲线c的直角坐标方程为．
2）将直线的参数方程代入，得．
2023年数学高考模拟试卷
2015年江苏高考数学模拟试卷 五 第 卷 必做题分值160分 苏州市高中数学学科基地苏州市高中数学命题研究与评价中心。一 填空题 本大题共14小题，每小题5分，共计70分 请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知全集，集合，则集合。2 已知，为虚数单位，则的值为 3 某校对全校1200名男女学生进...
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