2023年江苏高考数学模拟试卷（五）
第ⅰ卷 （必做题分值160分）
苏州市高中数学学科基地苏州市高中数学命题研究与评价中心。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集，集合，，则集合。
2．已知，为虚数单位，，则的值为 ▲
3．某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是 ▲ 人．
4．从数字中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于26的概率是 ▲
5．已知定义域为的函数是奇函数，则 ▲
6．在中，若，则角的大小为 ▲
7．设变量，满足约束条件且目标函数的最大值为3，则 ▲
8．若函数，则实数m的取值范围是 ▲
9．在等比数列中，a1＝1，前n项和为sn．若数列也是等比数列，则sn等于 ▲
10．在样本的频率分布直方图中， 共有9个小长方形， 若第一个长方形的面积为0．02， 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600， 则中间一组（即第五组）的频数为 ▲
11．已知圆，直线。
若对任意的实数，直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为 ▲
12．圆与曲线有两个交点，则的值是 ▲
13．将一个长宽分别是的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 ▲
14．设是不全为0的实数，则的最大值是 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数．1）求函数的最小值和最小正周期；
2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若，求，的值．
16．（本小题满分14分）
在直三棱柱中，，，e、f分别是的中点．
1）证明：平面平面；
2）证明：平面abe；
3）设p是be的中点，求三棱锥的体积．
17．（本小题满分14分）
在一段笔直的斜坡上竖立两根高16米的电杆，过架设一条十万伏高压电缆线．假设电缆线呈抛物线形状，现以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，经观测发现视线恰与电缆线相切于点．
1）求电缆线所在的抛物线的方程；
2）若高压电缆周围10米内为不安全区域，试问一个身高1.8米的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？请说明理由．
18．（本小题满分16分）
在平面内，已知椭圆的两个焦点为，椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且．
1）求椭圆的标准方程；
2）过点o作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于a、b点，求o到ab的距离；
求的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．
1）求数列的通项公式和数列的前n项和；
2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知。1）求的单调区间；
2）令，则时有两个不同的根，求的取值范围；
3）存在且，使成立，求的取值范围．
第卷 （附加题分值40分）
21．【选做题】在a，b，c，d 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a．选修4—1：几何证明选讲。
如图，⊙o的直径ab的延长线与弦cd的延长线相交于点p，e为⊙o上一点，ae=ac， de交ab于点f．求证：△pdf∽△poc．
b．选修4—2：矩阵与变换
若点a（2，2）在矩阵对应变换的作用下得到的点为b（－2，2），求矩阵m的逆矩阵．
c．选修4—4：坐标系与参数方程。
直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点、分别在曲线（为参数）和曲线上，求的最大值 ．
d．选修4—5：不等式选讲。
已知x，y，z均为正数．求证：．
必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
有一枚质地均匀的硬币，抛掷次，1）当，记正面向上的次数为，求的分布列及期望；
2）当，求正面不连续出现的概率．
23．（本小题满分10分）
设等差数列的首项为1，公差d（），m为数列中的项．
1）若d=3，试判断的展开式中是否含有常数项？并说明理由；
2）证明：存在无穷多个d，使得对每一个m，的展开式中均不含常数项．
2023年江苏高考数学模拟试卷（五）
第ⅰ卷参***与解析。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
解析：4．共有12，13，14，15，21，22，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个基本事件，其中31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共12个基本事件，故所求的概率为；
7．过时取最大值，．
8． 得单调递增，恒成立， 恒成立，
当且仅当时等号成立。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）， 则的最小值是－2，
最小正周期是；
2），则，由正弦定理，得，①
由余弦定理，得，即， ②
由①②解得．
16．（1）证明：在，∵ac=2bc=4， ，
由已知， ∴
又∵ 2）证明：取ac的中点m，连结。
在，而，∴直线fm//平面abe
在矩形中，e、m都是中点，∴
而，∴直线。
又∵ ∴故
或解：取ab的中点g，连结fg，eg，证明eg，从而得证）
3）取的中点，连结，则且，由（1），∴p是be的中点，∴
17．解：（1）设电缆所呈现的抛物线方程为，∴
点的坐标为，则抛物线在点处的切线的斜率为，又∵直线的斜率为，由题意可得，即①
点在抛物线上，∴
由①②可得，即抛物线方程为．
2）坡面所在直线方程为，作直线轴且分别与抛物线及交于，则。
当且仅当时取等），这说明电缆线与坡面的铅直距离的最小值为12米，这个距离大于米，这根高压线是不会对这个人的安全构成威胁的．
18．解：（1）由题意得， 方程为：
2）①解法1：当不存在时易得。
当存在时，设ab为，oaob，，
即，， 经检验式》0，所以点o到直线ab的距离为。
解法2：设a，b即b
oa=，ob=，ab=，
同理：，两式相加得：，
当k不存在或为0时易得。
当k存在且不为0时。
ab， 综上。
19．解：（1）（法一）在中，令，得即
解得，， 又时，满足，
法二）是等差数列，
由，得， 又，，则．
求法同法一)
2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
等号在时取得．此时需满足．
当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是随的增大而增大，时取得最小值．
此时需满足．
综合①、②可得的取值范围是．
若成等比数列，则，即．
由，可得，即，
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．
另解：因为，故，即，（以下同上）．
20．解：（1），令得，时，，单调递增；
时，，单调递减．
综上，单调递增区间为，单调递减区间为．
当时，，单调递减，故不可能有两个根，舍去。
当时，时，，单调递减，时，，单调递增．所以得．
综上， 3）不妨设，由(1)知时，单调递减．
等价于。即。
存在且，使成立。
令，在存在减区间。
0有解，即有解，即。
令，，时，，单调递增，时，，单调递减，第卷参***与解析。
21、【选做题】在a、b、c、d 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
a．选修4—1：几何证明选讲。
证明：∵ae=ac，∠cde＝∠aoc，又∠cde＝∠p+∠pdf，∠aoc＝∠p+∠ocp，从而∠pdf＝∠ocp．
在△pdf与△poc中，p＝∠p，∠pdf＝∠ocp，故△pdf∽△poc．
b．选修4—2：矩阵与变换
解： ，即，所以解得
所以．由，得．
另解： ＝1，．
另解：，看作绕原点o逆时针旋转90°旋转变换矩阵，于是．
c．选修4—4：坐标系与参数方程。
解：曲线，曲线。
所以的最大值为8．
d．选修4—5：不等式选讲。
证明：因为x，y，z都是为正数，所以．
同理可得，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得．
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
22．解：（1）=0，1，2，3，；
2）10次均为反面只有1次，只有1次正面种，只有2次正面且不连续出现有种，只有3次正面且不连续出现有种，只有4次正面且不连续出现有种，只有5次正面且不连续出现有种，6次正面肯定会连续出现。
所求概率为．
23．解：（1）因为是首项为1，公差为3的等差数列，所以．
假设的展开式中的第r+1项为常数项（），
于是．设，则有，即，这与矛盾．
所以假设不成立，即的展开式中不含常数项．
2）证明：由题设知an=，设m=，由（1）知，要使对于一切m，的展开式中均不含常数项，必须有：对于，满足=0的r无自然数解，即．
当d=3k时，．
故存在无穷多个d，满足对每一个m，的展开式中均不含常数项．
2023年数学高考模拟试卷
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