1．已知全集，集合，则= ．
2．下列命题中，错误的是（ ）
a）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行。
b）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行。
c）若直线垂直平面内的两条相交直线，则直线必垂直平面。
d）垂直于同一个平面的两条直线平行。
3．已知集合，,若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
4．若曲线上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）
ab）c） （d）
5．已知等差数列的前项和为，向量，， 且，则用表示（ ）
a） （b） （c） （d）
7．关于方程的解为。
8．设，向量，，且，则。
9．在中，若，，，则 ．
10．若点位于曲线与所围成的封闭区域内(包括边界), 则的最小值为 ．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．
12．复数(，且)，若是实数，则有序实数对可以是 ．（写出一个有序实数对即可）
13．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围 ．
14．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ．
15．若不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 ．
16．有标号分别为的蓝色卡片和标号分别为的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．
17．已知数列，对任意的，当时，；当时，，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．
18．对于函数，有下列4个命题：
任取，都有恒成立；，对于一切恒成立；
函数有3个零点；
对任意，不等式恒成立．
则其中所有真命题的序号是。
19．如图，在体积为的正三棱锥中，长为，为棱的中点，求。
1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
2）正三棱锥的表面积．
20．如图，点a、b是单位圆上的两点，点c是圆与轴的正半轴的交点，将锐角的终边按逆时针方向旋转到。
1）若点a的坐标为，求的值；
2）用表示，并求的取值范围。
21．为了寻找马航残骸，我国“雪龙号”科考船于2023年3月26日从港口出发，沿北偏东角的射线方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛，海里，且。现指挥部需要紧急征调位于港口正东海里的处的补给船，速往小岛装上补给物资供给科考船．该船沿方向全速追赶科考船，并在处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线围成的三角形的面积最小时，这种补给方案最优。
1）求关于的函数关系式；
2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？
22．设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点，、的焦点均在轴上，过的焦点f作直线，与交于a、b两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
1）求，的标准方程；
2）若与交于c、d两点，为的左焦点，求的最小值；
3）点是上的两点，且，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由。
23．已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
1）指出，并求与的关系式（）；
2）求（）的通项公式，并指出点列，，，向哪一点无限接近？说明理由；
3）令，数列的前项和为，试比较与的大小，并证明你的结论．参***。
解析】试题分析：，所以．
考点：集合的运算．
2．b解析】
试题分析：按顺序考察，对，我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行，而那个平面内的所有直线与与这个平面平行，故正确；对，如圆锥的所有母线与底面所成的角都相等，但它们不平行，错误，故选．是线面垂直的判定与性质定理．
考点：线面平行与垂直的判定与性质．
3．a解析】
试题分析：由题意，，题设条件说明a真包含于b，所以．
考点：解不等式，充分必要条件．
4．c解析】
试题分析：中曲线方程为，曲线是抛物线，没有自公切线，中方程化简为时，，时，，此曲线是两段劣圆弧，不存在自公切线，中曲线如下图，是两个圆弧，相应的两个圆有公切线，即曲线有自公切线，选c．
考点：方程与曲线，曲线的切线．
5．c解析】
试题分析：由题意，所以，，在同一条直线上，那么由得，且，解得．选c．
考点：向量中三点共线的性质，向量的线性表示．
解析】试题分析：．
考点：数列的极限．
解析】试题分析：原方程为，即，，所以，．
考点：行列式，指数方程．
解析】试题分析：由题意，，，
考点：向量垂直与向量的模．
解析】试题分析：由正弦定理得，即，解得．
考点：正弦定理．
解析】试题分析：曲线与围成的封闭区域如图内部（含边界），作直线，将直线向上平移我，当它过点时，取得最小值．
考点：线性规划．
解析】试题分析：本题几何人体体是由同底的圆锥和圆柱放在一起形成的，．
考点：三视图，组合体的体积．
12．或满足的任意一对非零实数对。
解析】试题分析：是实数，则，由于，故．
考点：复数的概念．
解析】试题分析：由题意，解得．
考点：一元二次不等式的解集问题，不等式恒成立问题．
解析】试题分析：函数的图像向右平移个单位长度后得函数式为，它和相同，则，，最小值为6．
考点：三角函数图象平移，诱导公式．
解析】试题分析：， 因此最小值为4．
考点：基本不等式．
解析】试题分析：由题意，从中任取两张卡片的总方法数为，颜色不同，标号和小于4的有：蓝1、红1，蓝1、红2，蓝2、红1共3种，因此其概率为．
考点：古典概型．
解析】试题分析：由题意，，，由此可得，，故第10个2应该是，即第项．
考点：数列的通项公式与数列的项．
解析】试题分析：从函数的定义可知，，因此，①正确；由定义，因此，②错误；函数与的图象如下图所求，它们有三个交点，因此方程有3个解，③正确；对④，从函数定义或图象可知。
因此不等式要成立，必须有，，而当时，的最大值为（时取得），故．），故填①③④
考点：函数的综合应用．
解析】试题分析：（1）本题求异面直线所成的角，根据定义要把这个角作出来，一般平移其中一条，到与另一条相交为此，题中由于有的中点，因此我们以中点，就有，那么就是所求的角（或其补角）；（2）要求正三棱锥的表面积，必须求得斜高，由已知体积，可以先求得棱锥的高，取的中心，那么就是棱锥的高，下面只要根据正棱锥的性质（正棱锥中的直角三角形）应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到表面积了．
试题解析：（1）过点作平面，垂足为，则为的中心，由得（理1分文2分）
又在正三角形中得，所以理2分文4分）
取中点，连结、，故∥，所以就是异面直线与所成的角．（理4分文6分）
在△中理5分文8分）
所以． （理6分文10分）
所以，异面直线与所成的角的大小为． （理7分文12分）
2）由可得正三棱锥的侧面积为。
理10分）所以正三棱锥的表面积为。
理12分）考点：（1）异面直线所成的角；（2）棱锥的体积与表面积．
解析】试题分析：（1）已知单位圆上点的坐标为，根据三角函数的定义有，这样我们很快可求得，也即求出的值；（2）在中，此三角形的两边长为1，而，因此只要应用余弦定理就能求得的长，，要求其范围，首先求得的范围，根据已知，此时可得，那么必有，的范围随之而得，．
试题解析：（1）由已知， （2分）
（4分）6分）
28分）10分）， 12分）
14分）考点：（1）三角函数的定义与求值；（2）余弦定理与三角函数的范围问题．
解析】试题分析：（1）本题已知条件可以理解为是固定的，点也是不变，直线过点，要求面积的最小值，根据已知条件，我们用解析法来解题，以为坐标原点，向东方向为正半轴，向北方向为轴正半轴，建立直角坐标系，则可得直线的方程为，点坐标为，又有点坐标为，可得直线方程，它与直线的交点的坐标可解得，而，这样要求的表达式就可得；（2）在（1）基础上，，其最小值求法，把分式的分子分母同时除以，得，分母是关于的二次函数，最值易求。
试题解析：（1）以o点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系， （1分）
则直线oz的方程为，设点a（x0，y0），则，，即a（900，6003分）
又b（m，0），则直线ab的方程为：， 4分）
由此得到c点坐标为：， 6分）
（8分）2）由（1）知 （10分）
（12分）所以当，即时，最小，或令，则。
当且仅当时，最小）
征调海里处的船只时，补给方案最优14分）
考点：解析法解应用题。
22．（1）： 2）；（3）证明见解析。
解析】试题分析：（1）分析哪些点在椭圆上，哪些点在抛物线上，显然是椭圆的顶点，因此，从而点是椭圆上的点，另两点在抛物线上，代入它们的标准方程可求得其方程；（2）与的顶点都是，底在同一直线上，因此基、其面积之比为底的比，即，这样我们只要求出直线与已知两曲线相交弦长即可，直线与曲线交于两点，其弦长为，当然由于直线过圆锥曲线的焦点，弦长也可用焦半径公式表示；（3）从题意可看出，只有把，求出来，才能得出结论，为了求，，我们可设方程为，则方程为，这样，都能用表示出来，再计算可得其为定值，反之若，我们只能设方程为，方程为，分别求出，代入此式，得出，如果一定能得到1，则就一定有，否则就不一定有。
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