第01讲全等三角形的性质与判定。
例１】如图，ab∥ef∥dc,∠abc＝90°,ab＝cd，那么图中有全等三角形（ ）
a．5对 b．4对 c．3对 d．2对。
解：⑴∵ab∥ef∥dc,∠abc＝90. ∴dcb＝90.
在△abc和△dcb中。
\\beginab=dc\\\abc=∠dcb\\\bc=cb\\\end\\end\ight.',altimg': w':
138', h': 114'}]abc≌∴△dcb（sas ） a＝∠d
在△abe和△dce中。
\\begin∠a=∠d\\\aed=∠dec\\\ab=dc\\\end\\end\ight.',altimg': w':
138', h': 114'}]abe≌∴△dce ∴be＝ce
在rt△efb和rt△efc中。
\\beginbe=ce\\\ef=ef\\\end\\end\ight.',altimg': w': 81', h': 78'}]
rt△efb≌rt△efc（hl）故选c.
变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
a．有两角和一边对应相等的两个三角形全等。
b．有两边和一角对应相等的两个三角形全等。
c．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
d．有一边对应相等的两个等边三角形全等。
02．（丽水）已知命题：如图，点a、d、b、e在同一条直线上，且ad＝be，∠a＝∠fde，则△abc≌△def.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明。
03．(上海)已知线段ac与bd相交于点o, 连接ab、dc，e为ob的中点，f为oc的中点，连接ef（如图所示）.
添加条件∠a＝∠d，∠oef＝∠ofe，求证：ab＝dc；
分别将“∠a＝∠d”记为①，“oef＝∠ofe”记为②，“ab＝dc”记为③，添加①、③以②为结论构成命题1；添加条件②、③以①为结论构成命题2.命题1是___命题，命题2是___命题（选择“真”或“假”填入空格）.
例２】已知ab＝dc，ae＝df，cf＝fb. 求证：af＝de.
证明：∵fb＝ce ∴fb＋ef＝ce＋ef，即be＝cf
在△abe和△dcf中， [beginab=dc\\\ae=df\\\be=cf\\\end\\end\ight.',altimg': w': 85', h': 114'}]
△abe≌△dcf（sss） ∴b＝∠c
在△abf和△dce中， [beginab=dc\\\b=∠c\\\bf=ce\\\end\\end\ight.',altimg': w':
85', h': 114'}]abf≌△dce ∴af＝de
变式题组】01．如图，ad、be是锐角△abc的高，相交于点o，若bo＝ac，bc＝7，cd＝2，则ao的长为（ ）
a．2 b．3 c．4 d．5
02.如图，在△abc中，ab＝ac，∠bac＝90°，ae是过a点的一条直线，ae⊥ce于e，bd⊥ae于d，de＝4cm，ce＝2cm，则bd
03．（北京）已知：如图，在△abc中，∠ acb＝90°，cd⊥ab于点d，点e在ac上，ce＝bc，过点e作ac的垂线，交cd的延长线于点f. 求证：ab＝fc.
例３】如图①，△abc≌△def，将△abc和△def的顶点b和顶点e重合，把△def绕点b顺时针方向旋转，这时ac与df相交于点o.
当△def旋转至如图②位置，点b（e）、c、d在同一直线上时，∠afd与∠dca的数量关系是。
当△def继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由。
解法指导】⑴∠afd＝∠dca
∠afd＝∠dca理由如下：由△abc≌△def，∴ab＝de，bc＝ef, ∠abc＝∠def, ∠bac＝∠edf ∴∠abc－∠fbc＝∠def－∠cbf, ∴abf＝∠dec
在△abf和△dec中， [beginab=de\\\abf=∠dec\\\bf=ec\\\end\\end\ight.',altimg': w':
137', h': 114'}]
△abf≌△dec ∠baf＝∠dec ∴∠bac－∠baf＝∠edf－∠edc, ∴fac＝∠cdf ∵∠aod＝∠fac＋∠afd＝∠cdf＋∠dca
∠afd＝∠dca
变式题组】01．（绍兴）如图，d、e分别为△abc的ac、bc边的中点，将此三角形沿de折叠，使点c落在ab边上的点p处。若∠cde＝48°，则∠apd等于（ ）
a．42° b．48° c．52° d．58°
02．如图，rt△abc沿直角边bc所在的直线向右平移得到△def，下列结论中错误的是（ ）
a．△abc≌△def b．∠def＝90° c． ac＝dfd．ec＝cf
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点b、f、c、d在同一条直线上。
求证：ab⊥ed；
若pb＝bc，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明。
例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，bd、ce分别是△abc的边a c和ab边上的高，点p在bd的延长线，bp＝ac，点q在ce上，cq＝ab. 求证：⑴ ap＝aq；⑵ap⊥aq
解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等。经观察，证ap＝aq,也就是证△apd和△aqe，或△apb和△qac全等，由已知条件bp＝ac，cq＝ab，应该证△apb≌△qac，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可。 证ap⊥aq，即证∠paq＝90°，∠pad＋∠qac＝90°就可以。
证明：⑴∵bd、ce分别是△abc的两边上的高，∠bda＝∠cea＝90°,∴1＋∠bad＝90°，∠2＋∠bad＝90°，∴1＝∠2.
在△apb和△qac中， [beginab=qc\\\1=∠2\\\bp=ca\\\end\\end\ight.',altimg': w':
85', h': 114'}]apb≌△qac，ap＝aq
∵△apb≌△qac，∴∠p＝∠caq, ∴p＋∠pad＝90°
∠caq＋∠pad＝90°，∴ap⊥aq
变式题组】01．如图，已知ab＝ae，∠b＝∠e，bc＝ed，点f是cd的中点，求证：af⊥cd.
02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离ma为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离nb为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
a．[m', altimg': w': 62', h': 43b．[m', altimg': w': 62', h': 43c．bm d．am
03．如图，已知五边形abcde中，∠ abc＝∠aed＝90°，ab＝cd＝ae＝bc＋de＝2，则五边形abcde的面积为。
演练巩固·反馈提高。
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
a．72° b．60° c．58° d．50°
02．如图，△acb≌△a/c/b/，∠bcb/＝30°，则∠aca/的度数是（ ）
a．20° b．30° c．35° d．40°
03．（牡丹江）尺规作图作∠aob的平分线方法如下：以o为圆心，任意长为半径画弧交oa、ob于c、d，再分别以点c、d为圆心，以大于[cd', altimg': w':
44', h': 43'}]长为半径画弧，两弧交于点p，作射线op，由作法得△ocp≌△odp的根据是（ ）a．sas b．asa c．aas d．sss
04．（江西）如图，已知ab＝ad，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△abc≌△adc的是（ ）
a. cb＝cdb.∠bac＝∠dac c. ∠bca＝∠dcad.∠b＝∠d＝90°
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△abc和△bde，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当a、b、d不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
a. △abe≌△cbd b. ∠abe＝∠cbd c. ∠abc＝∠ebd＝45d. ac∥be
06．如图，△abc和共顶点a，ab＝ae，∠1＝∠2，∠b＝∠e. bc交ad于m，de交ac于n，小华说：“一定有△abc≌△aed.
”小明说：“△abm≌△aen.”那么（ ）
a. 小华、小明都对 b. 小华、小明都不对 c. 小华对、小明不对 d.小华不对、小明对。
07．如图，已知ac＝ec, bc＝cd, ab＝ed,如果∠bca＝119°，∠acd＝98°,那么∠eca的度数是。
08．如图，△abc≌△ade，bc延长线交de于f，∠b＝25°,∠acb＝105°，∠dac＝10°，则∠dfb的度数为___
09．如图，在rt△abc中，∠c＝90°, de⊥ab于d, bc＝bd. ac＝3，那么ae＋de＝__
10．如图，ba⊥ac, cd∥ab. bc＝de，且bc⊥de，若ab＝2, cd＝6，则ae＝__
11．如图， ab＝cd, ab∥cd. bc＝12cm，同时有p、q两只蚂蚁从点c出发，沿cb方向爬行，p的速度是0.1cm/s, q的速度是0.
2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△apb≌△qdc.
12．如图， △abc中，∠bca＝90°，ac＝bc，ae是bc边上的中线，过c作cf⊥ae，垂足为f，过b作bd⊥bc交cf的延长线于d.
求证：ae＝cd；
若ac＝12cm, 求bd的长。
13．（吉林）如图，ab＝ac，ad⊥bc于点d，ad等于ae，ab平分∠dae交de于点f, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。
14．如图，将等腰直角三角板abc的直角顶点c放在直线l上，从另两个顶点a、b分别作l的垂线，垂足分别为d、e.
找出图中的全等三角形，并加以证明；
若de＝a，求梯形dabe的面积。（温馨提示：补形法）
15．如图，ac⊥bc, ad⊥bd, ad＝bc，ce⊥ab，df⊥ab，垂足分别是e、f.求证：ce＝df.
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△abc、△a1b1c1均为锐角三角形，ab＝a1b1，bc＝b1c1，∠c＝∠c1.求证：△abc≌△a1b1c1.（请你将下列证明过程补充完整）
归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论。
培优升级·奥赛检测。
01．如图，在△abc中，ab＝ac，e、f分别是ab、ac上的点，且ae＝af，bf、ce相交于点o，连接ao并延长交bc于点d，则图中全等三角形有（ ）
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