第22讲正方形。
考点·方法·破译。
1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形．
2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．
3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．
经典考题赏析。
例1】如图，已知平行四边形abcd中，对角线ac、bd交于点o，e是bd延长线上的点，且△ace是等边三角形．
求证：四边形abcd是菱形；
若∠aed＝2∠ead，求证：四边形abcd是正方形．
变式题组】01．如图，已知正方形abcd的对角线ac和bd相交于o，点m、n分别在oa、od上，且mn∥ad．**：线段dm和cn之间的数童关系，写出结论并给出证明．
02．如图，点p是正方形abcd对角线ac上的点，pe⊥ab，pf⊥bc，e、f是垂足，问pd与ef有怎样的关系？请说明理由．
03．如图，将正方形abcd中的△abd绕对称中心o旋转至△gef的位置，ef交ab于m，gf交bd于n．请猜想bm与fn有怎样的数量关系？并证明你的结论．
04．把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图．
例2】如图，正方形abcd绕点a逆时针旋转n°后得到正方形aefg，边ef与cd交于点o．
以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形aeod）的面积为cm2，求旋转的角度。
变式题组】01．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点a顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．
02．我们给定两个全等的正方形abcd、aefg它们共顶点a(如图1)，可以绕顶点a旋转，cd、ef相交于点p．
连接be、dg（如图2），求证：be＝dg，be⊥dg
连接bg、cf(如图)，求证：bg∥cf．
例3】数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形abcd是正方形，点e是bc边的中点．∠aef＝90°，且ef交正方形外角∠dcg的平分线cf于点f，求证：ae＝ef．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取ab的中点m，连接me，则似am＝ec，易证△ame≌△ecf，所以ae＝ef．
在此基础上，同学们进一步的研究：
小颖提出：如图2，如果把“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc上（除b、c外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“ae＝ef”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
2）小华提出：如图3，点e是边bc的延长线上(除c点外)的任意一点，其他条件不变，结论“ae＝ef”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
变式题组】01．如图，已知正方形abcd在直线mn上方，bc在直线mn上；e是bc上一点，以ae为边在直线mn的上方作正方形aefg．
连接gd，求证：△adg≌△abe；
连接fc，观察并猜测∠fcn的度数，并说明理由．
02．如图，在正方形abcd中，点e、f分别是bc、dc边上的点，且ae丄ef．
延长ef交正方形外角平分线cp于点p，试判断ae与ep的大小关系，并说明理由；
在ab边上是否存在一点m，使得四边形dmep是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
例4】已知：正方形abcd中，∠man＝45°，∠man绕点a顺时针旋转，它的两边分别cb、dc(或它们的延长线)点m、n．当∠man绕点a旋转到bm＝dn时（如图1），易证bm＋dn＝mn．
当∠man绕点a旋转到bn≠dn时（如图2），线段bm、dn和mn之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
当∠man绕点a旋转到如图3的位置时，线段bm、dn和mn之间有怎样的数量关系？写出猜想并明．
图1 图2 图3
变式題组】01．如图，在正方形abcd中，点e、f分别在bc、cd上移动，但a到ef的距离ah始终保持与ab长相等，问在e、f移动过程中：
∠eaf的大小是否有变化？请说明理由；
△ecf的周长是否有变化？请说明理由．
02．如图，有四个动点p、q、e、f分别从边长为1的正方形abcd的四个顶点出发，沿ab、bc、cd、da以同样的速度向b、c、d、a各点移动。
试判断四边形pqef的形状，并证明；
pe是否总过某一定点，并说明理由；
四边形pqef的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少？
03．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形oabc的两顶点a、c分别在y轴、x轴的正半轴上，点o在原点．现将正方形oabc绕点o顺时针旋转，当a点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，ab边交直线y＝x于点m，bc边交x轴于点n(如图)．
旋转过程中，当mn和ac平行时，求正方形oabc旋转的度数；
设△mbn的周长为p，在正方形oabc旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．
例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：
已知正方形abcd，点e、f、g、h只分别在ab、bc、cd、da上，若eg丄fh，则ge＝fh”经过思考，大家给出了以下两个方案：
甲）过点a做am∥hf交bc于点m，过点b作bn∥eg交cd于点n；
乙）过点a做am∥hf交bc于点m，作an∥eg交cd的延长线于点n；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；
如果把条件中的“eg丄hf”改为“eg与hf的夹角为45°”，并假设正方形abcd的边长为1，fh的长为 (如图2)，试求eg的长度．
变式题组】01．若正方形abcd的边长为4，e为bc边上一点，be＝3，m为线段ae上一点，射线bm交正方形的一边于点f，且bf＝ae，则bm的长为．
02．如图，已知正方形abcd的边长为3，e为bc边上一点，be＝1．以点a为中心，把△ade顺时针旋转 90°，得△ade'，连接ee'，则ee'的长等于．
03．已知正方形abcd中，点e在边dc上，de＝2，ec＝1(如图所示)把线段ae绕点a旋转，使点e落在直线bc上的点f处，则f、c两点的距离为．
04．小明尝试着将矩形纸片abcd(如图①，ad＞cd)沿过a点的直线折叠，使得b点落在ad边上的点f处，折痕为(如图②)；再沿过d点的直线折叠，使得c点落在da边上的点n处，e点落在ae边上的点m处，折痕为dg(如图③)．如果第二次折叠后，m点正好在∠ndg的平分线上，矩形abcd长与宽的比值为．
05．平面内有一等腰直角三角板（∠acb＝90°）和一直线mn．过点c作以ce丄mn于点e，过点b作bf丄mn于点f．当点e与a重合时（如图1），易证：af＋bf＝2ce．当三角板绕点a顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段af、bf、ce之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想，并证明．
演练巩固·反馈提高。
01．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）
a．等腰梯形b．正方形c．平行四边形d．矩形。
02．如图，将n个边长为1cm瓜的正方形按如图所示的方法摆放，点a1，a2，…，an分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积为（）
a． cm2b． cm2c． cm2d． cm2
03．如图⑴，把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，并拼成图⑵，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）
a． b．m－n c． d．
04．如图，四边形abcd中，ab＝bc，∠abc＝∠cda＝90°，be丄ad于点e，且四边形abcd的面积为8，则be＝（）
a．2 b． c．3 d．
05．如图所示，正方形abcd的面积为12，△abe是等边三角形，点e在正方形abcd内，在对角线ac有一点p，使pd＋pe的和最小，则这个最小值为（）
a． b． c．3 d．
06．如图，正方形abcd的边长为1cm，e、f分别是bc、cd的中点，连接bf、de，则图中阴影部分的面积是cm2．
07．如图，四边形abcd是正方形，直线l1、l2、l3分别经过a、b、c三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为a，l2与l3的距离为b，则正方形abcd的面积是．
08．如图，在正方形纸片abcd中，对角线八ac、bd交于点o，折叠正方形纸片abcd，使ad落在bd上，点a恰好与bd上的点f重合．展开后，折痕de分别交ab、ac于点e、g．连接gf．下列结论：①∠adg＝112．5°；②ad＝2ae；③s△acg＝ s△ocd；④四边形aefg是菱形；⑤be＝2og，其中正确的结论序号是．
09．如图，正方形纸片abcd的边长为1，m、n分别是ad、bc边上的点，将纸片的一角沿过点b的直线折叠，使a落在mn上，落点记为a′，折痕交ad于点e，若m、n分别是ad、bc边的中点，则a′n＝，若m、n分别是ad、bc边上的距dc最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则a′n＝（用含有n的式子表示）．
八年级数学正方形典型例题
正方形 典型例题。能力素质。例1 如图4.6 2，已知正方形abcd中，e为ad上一点，bf平分 ebc交dc于f，求证 be ae cf 解析证ae cf be，可以把ae与cf相接，证其与be相等 证明延长ea到g，使ag cf，连结bg 在正方形abcd中，ab bc，bag c 90 gab...
八年级正方形教学课件
师 教材在 四边形 这一章 引言 里有这样一句话 把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进展折叠处理。师 这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板 刻度尺 和圆规，我们来研究正方形的几何性质 边 角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度 各角的大小...
新课标人教版八年级数学下册《正方形》教学反思
一 学生自学。1 理解正方形的概念 性质和判定，并会运用它们解决相关问题。2知道正方形与矩形和菱形之间的关系。二 学法引导。1 正方形的定义，2 正方形是矩形吗？是菱形吗？3 矩形 菱形有哪些性质？正方形呢？三 知识点拔。师 有一个角是直角并且有一组邻边相等的平等四边形叫正方形，正方形既是特殊的菱形...