正方形·典型例题。
能力素质。例1 如图4.6－2，已知正方形abcd中，e为ad上一点，bf平分∠ebc交dc于f，求证：be＝ae＋cf．
解析证ae＋cf＝be，可以把ae与cf相接，证其与be相等．
证明延长ea到g，使ag＝cf，连结bg．
在正方形abcd中，ab＝bc，∠bag＝∠c＝90°．
△gab≌△fcb．
∠gba＝∠fbc．
g＝∠bfc．
又∵ab∥cd．
∠bfc＝∠abf＝∠eba＋∠ebf．
又∵bf平分∠ebc，∠ebf＝∠fbc．
∠gba＝∠ebf．
∠g＝∠bfc＝∠eba＋∠ebf
∠eba＋∠gba
∠ebg．be＝ge＝ag＋ae＝cf＋ae．
点击思维。例2 如图4.6－3，已知锐角△abc中，以ab，ac为边向外作正方形abde和正方形acfg，连结ce、bg，交点为o，求证：(1)ec＝bg；(2)ec⊥bg．
解析易证△eac≌△bag，可得ec＝bg，∠aec＝∠abg，于是可证∠eob＝∠eab
证明 (1)在正方形abde和正方形acfg中，ae＝ab，ac＝ag，eab＝∠gac＝90°，∠eab＋∠bac＝∠gac＋∠bac．
即∠eac＝∠bag，△eac≌△bag．
ec＝bg．
2)由(1)知：△eac≌△bag，∠aec＝∠abg．
又∵∠1＝∠2，∠abg＋∠2＝∠aec＋∠1＝90°．
∠eob＝∠eab＝90°∴ec⊥bg．
点评若把例题中，∠bac为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．
例3 如图4.6－4，以△abc的边ab，ac为边向形外作正方形abde和正方形acfg，ah⊥bc，交eg于m，垂足为h，求证：em＝mg．
解析 (思路一)过e作ag的平行线交am延长线于k，连接kg，证明四边形keag是平行四边形行即可．
思路二)可证e，g到am的距离相等即可。
证法一如图4.6－4
过e作ek∥ag，交am的延长线于k，连结gk．
∠kea＋∠eag＝180°．
在正方形abde和正方形acfg中，ae＝ab，∠eab＝∠gac＝90°．
∠eag＋∠bac＝180°．
∠kea＝∠bac．
ah⊥bc．
∠bah＋∠abc＝90°．
又∵∠eak＋∠bah＝90°．
∠eak＝∠abc．
又∵ab＝ae，△kea≌△abc．
ek＝ac，又ac＝ag．
ek＝ag．
四边形eagk是平行四边形．
em＝mg．
证法二分别过e，g作am的垂线，垂足为p、q，在正方形gacf中，ag＝ac，∠gac＝90°．
∠gaq＋∠cah＝90°．
又ah⊥bc．
∠cah＋∠ach＝90°．
∠gaq＝∠ach．
又∠gqa＝∠ahc＝90°．
△gqa≌△ahc．
gq＝ah．
同理可证：ep＝ah．
ep＝gq．
又∵∠pme＝∠gmq．
epm＝∠gqm＝rt∠．
△epm≌△gqm．
em＝mg．
学科渗透。例4 如图4.6－6，已知e为正方形abcd的边bc的中点，ef⊥ae，cf平分∠dcg，求证：ae＝ef．
解析可取ab中点m，连结me，证△ame≌△ecf
证明取ab中点m，连结me
在正方形abcd中，ab＝bc，∠b＝∠dcb＝90°．
又e为bc中点，am＝bm＝be＝ec．
∠bme＝45°．
∠ame＝135°．
又cf平分∠dcg．
∠ecf＝135°．
∠ame＝∠ecf．
又∵ae⊥ef，∠fec＋∠aeb＝90°．
又∵∠bae＋∠aeb＝90°．
∠fec＝∠bae．
△ame≌△ecf．
ae＝ef．
中考巡礼。例5 (2023年江苏扬州中考题)如图4.6－7，已知p点是正方形abcd对角线bd上一点，pe⊥dc，pf⊥bc，e，f分别是垂足，求证：ap＝ef．
证明连结ac交bd于o，连结pc．
在正方形abcd中，bd⊥ac，bd平分ac．
pa＝pc．
又∵pe⊥cd，pf⊥bc，∠dcb＝90°．
四边形pfce是矩形．
ef＝pc．
pa＝ef．
考点正方形性质，矩形性质和判定。
例6 (2023年江苏泰州中考题)如图4.6－8已知，正方形abcd的对角线交于o，过o点作oe⊥of，分别交ab，bc于e，f，若ae＝4，cf＝3，则ef等于。
a．7 b．5 c．4 d．3
解易证△aoe≌△bof，△eob≌△foc．
ae＝bf，be＝fc．
ef2＝be2＋bf2＝32＋42．
ef＝5．故选b．
考点正方形性质，全等的判定和性质，勾股定理．
八年级数学培优 正方形
第22讲正方形。考点 方法 破译。1 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱形叫正方形 2 熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考 3 掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题 经典考题赏析。例1 如图，已...
八年级正方形教学课件
师 教材在 四边形 这一章 引言 里有这样一句话 把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进展折叠处理。师 这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板 刻度尺 和圆规，我们来研究正方形的几何性质 边 角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度 各角的大小...
新课标人教版八年级数学下册《正方形》教学反思
一 学生自学。1 理解正方形的概念 性质和判定，并会运用它们解决相关问题。2知道正方形与矩形和菱形之间的关系。二 学法引导。1 正方形的定义，2 正方形是矩形吗？是菱形吗？3 矩形 菱形有哪些性质？正方形呢？三 知识点拔。师 有一个角是直角并且有一组邻边相等的平等四边形叫正方形，正方形既是特殊的菱形...