第21讲菱形与矩形。
考点·方法·破译。
1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；
2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；
3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．
经典·考题·赏析。
例1】如图，四边形abcd是矩形，△pbc和△qcd都是等边三角形，且点p在矩形上方，点q在矩形内．
求证：pa＝pq．
变式题组】01．如图，在矩形abcd中，点e是bc上一点，ae＝ad，df⊥ae与f，连接de．求证：df＝dc．
02．如图，矩形abcd中，dp平分∠adc交bc于点p，将一个直角三角板的直角顶点放在p点处，且使它的一条直角边过a点，另一条直角边交cd于e．找出图中与pa相等的线段．并说明理由．
03．如图，矩形abcd的对角线相交于o，ae平分∠bad交bc于e，∠cae＝15°，求∠boe的度数．
例2】已知：如图，在矩形abcd中，点e在ad边上，ae＞de，be＝bc，点o是线段ce的中点．
试说明ce平分∠bed；
若ab＝3，bc＝5，求bo的长；
在直线ad上是否存在点f，使得以b、c、e、f为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点f的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．
变式题组】01．如图，在平面直角坐标系中，点o为原点，菱形oabc的对角线ob在x轴上，顶点a在反比例函数y＝的图像上，菱形的面积为。
02．两个全等的直角三角形abc和def重叠在一起，其中∠a＝60°，ac＝1．固定△abc不动，将△def进行如下操作：
如图1，△def沿线段ab向右平移(即d点**段ab内移动)，连接dc、cf、fb，四边形cdbf的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
如图2，当d点移到ab的中点时，请你猜想四边形cdbf的形状，并说明理由．
例3如图，在矩形abcd中，已知ad＝12，ab＝5，p是ad边上任意一点，pe⊥bd，pf⊥ac，e、f分别是垂足，则pe＋pf
变式题组】01．⑴观察与发现：讲矩形纸片aocb折叠，使点c与点a重合，点b落在点b＇处(如图1)，折痕为ef．小明发现△aef为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
实验与应用：以点o为坐标原点，分别以矩形的边oc、oa为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点b的坐标为(9，3)，请求出折痕ef的长及ef所在直线的函数关系式．
02.如图，将矩形纸片abcd沿对角线ac折叠使点b落到b＇的位置，ab＇与cd交于点e．
试找出一个与△aed全等的三角形，并加以证明；
若ab＝8，de＝3，p为线段ac上的任意一点，pg⊥ae于g，ph⊥ec于h，试求pg＋ph的值，并说明理由．
例4】如图1，在△abc中，点p为bc边中点，直线a绕顶点a旋转，若b、p在直线a的异侧，bm⊥直线a于点m，cn⊥直线a于点n，连接pm、pn；
延长mp交cn于点e(如图2)．①求证：△bpm≌△cpe；②求证：pm＝pn；
若直线a绕点a旋转到图3的位置时，点b、p在直线a的同侧，其他条件不变，此时pm＝pn还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
若直线a绕点a旋转到与bc边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形mbcn的形状及此时pm＝pn还成立吗？不必说明理由．
变式题组】01．如图，一副三角板拼在一起，o为ad的中点，ab＝a．将△abo沿bo对折于△a’bo，m为bc上一动点，则a’m的最小值为___
02．如图1，p是线段ab上的一点，在ab的同侧作△apc和△bpd，使pc＝pa，pd＝pb，∠apc＝∠bpd，连接cd，点e、f、g、h分别是ac、ab、bd、cd的中点，顺次连接e、f、g、h．
猜想四边形efgh的形状，直接回答，不必说明理由；、
当点p**段ab的上方时，如图2，在△apb的外部作△apc和△bpd，其他条件不变，⑴中的结论还成立吗？说明理由．
如果⑵中，∠apc＝∠bpd＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判定四边形efgh的形状，并说明理由．
03如图所示，一根长为2a的木棍(ab)，斜靠在与地(om)垂直的墙(on)上，设木棍的中点为p．若木棍a端沿墙下滑，且b端沿地面向右滑行．
请判断木棍滑动的过程中，点p到点o的距离是否变化，并简述理由；
在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△aob的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
演练巩固反馈提高。
01.将矩形纸片abcd按如图所示的方式折叠，ae、ef为折痕，∠bae＝30°，ab＝，折叠后，点c落在ad边上的c1处，并且点b落在ec1边上的b1处．则bc的长为( )
a． b．2 c．3 d．
02．菱形oabc在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠aoc＝45°，oc＝，则点b的坐标为( )
a．(，1) b．(1，) c．(＋1，1) d．(1，＋1)
03．如图，在△abc中，ab＞ac，d、e分别是ab、ac上的点，△ade沿线段de翻折，使点a落在边bc上，记为a’，若四边形ada’e是菱形，则下列说法正确的是( )
a．de是△abc的中位线 b．aa’是bc边上的中线。
c．aa’是bc边上的高 d．aa’是△abc的角平分线。
04．如图，菱形abcd中，∠b＝60°，ab＝2，e、f分别是bc、cd的中点，连接ae、ef、af，则△aef的周长为( )
a． b． c． d．3
05．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形efgh(见方案一)，乙同学沿矩形的对角线ac折出∠cae＝∠dac，∠acf＝∠acb的方法得到菱形aecf(见方案二)，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )
a．甲 b．乙 c．甲乙相等 d．无法判断。
06．在矩形abcd中，ab＝1，ad＝，af平分∠dab，过c点作ce⊥bd于e，延长af、ec交于点h，下列结论中：①af＝fh；②bo＝bf；③ca＝ch；④be＝3ed，正确的结论为。
07．如图，矩形abcd中，ab＝2，bc＝3，对角线ac的垂直平分线分别交ad、bc于点e、f，连接ce，则ce的长为。
08．如图，四边形abcd为矩形纸片．把纸片abcd折叠，使点b恰好落在cd边的中点e处，折痕为af，若cd＝6，则af
09．红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为___cm．
10．如图，一张长方形纸片abcd，其长ad为a，宽ab为b(a＞b)，在bc边上选取一点m，将△abm沿am翻折后b至b’的位置，若b’为长方形纸片abcd的对称中心，则的值是。
11．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠adc的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即a、c之间的距离)．若ab＝40cm，当∠adc从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？(＝1．414，＝1．732，结果保留整数)
12．如图所示，四边形oabc是矩形，点d在oc边上，以ad为折痕，将△oad向上翻折，点o恰好落在bc边上的点e处，若△ecd的周长为2，△eba的周长为6．
矩形oabc的周长为___
若点a坐标为(，0)，求线段ad所在直线的解析式．
13．如图，△abc中，∠acb＝90°，ac＝bc，me⊥ac，mf⊥bc，d是ab的中点．求证：△def是等腰直角三角形．
14．如图，矩形abcd中，ac＝2ab，o为ac的中点，延长ab到e，使be＝ab，连接eo并延长交bc于f，交ad于m．求证：四边形afcm是菱形．
16．如图1，在△abc中，ab＝bc，p为ab边上一点，连接cp，以pa、pc为邻边作□apcd，ac与pd相交于点e，已知∠abc＝∠aep＝α(0°＜α90°)．
求证：∠eap＝∠epa；
□apcd是否为矩形？请说明理由；
如图2，f为bc的中点，连接fp，将∠aep绕点e顺时针旋转适当的角度，得到∠men(点m、n分别是∠men的两边与ba、fp延长线的交点)．猜想线段em与en之间的数量关系，并证明你的结论．
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八年级数学矩形 菱形提优题
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八年级 下 数学矩形 菱形复习
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