1、用提公因式法把多项式进行因式分解。
知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解。
分类解析】622848
1. 把下列各式因式分解。
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解： （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解： 2. 利用提公因式法简化计算过程。
例：计算。分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式。3. 在多项式恒等变形中的应用。
例：不解方程组，求代数式的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。
解： 把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。
4. 在代数证明题中的应用。
例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n，和都是10的倍数。
一定是10的倍数。
5、中考点拨：
例1。因式分解。
解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：
解： 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：例1. 计算：
精析与解答：
设，则。说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。
其中重复出现，又有的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解：是及的公因式。
也是多项式的二次因式。
而。b、c为整数。
得： 说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式，从而简便求得。
例3. 设x为整数，试判断是质数还是合数，请说明理由。
解： 都是大于1的自然数。
是合数。说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。
实战模拟】1. 分解因式：
（2）（n为正整数）
2. 计算：的结果是（ ）
abcd.
3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。
4. 证明：能被45整除。
5. 化简：，且当时，求原式的值。
2、运用公式法进行因式分解。
知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式。
完全平方公式
立方和、立方差公式
补充：欧拉公式：
特别地：（1）当时，有。
（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解。
分类解析】1. 把分解因式的结果是（ ）
a. b.
cd. 分析：。
再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择b。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用。
例：已知多项式有一个因式是，求的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。
解：根据已知条件，设。
则。由此可得。
由（1）得。
把代入（2），得。
把代入（3），得。
3. 在几何题中的应用。
例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解： 为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用。
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为（为整数）
则。由此可见，一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解。
解： 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式。
解： 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：例1. 已知：，求的值。
解： 原式。
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例2. 已知，求证：
证明： 把代入上式，可得，即或或。
若，则，若或，同理也有。
说明：利用补充公式确定的值，命题得证。
例3. 若，求的值。解： 且。
又。两式相减得。
所以。说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
实战模拟】1. 分解因式：
2. 已知：，求的值。
3. 若是三角形的三条边，求证：
4. 已知：，求的值。
5. 已知是不全相等的实数，且，试求。
（1）的值；（2）的值。
4、用分组分解法进行因式分解。
知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。
而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用。
例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ）
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
解：原式。故选择c
例2. 分解因式。
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解法1：解法2：
2. 在几何学中的应用。
例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足。
证明：以a、b、c为三边能构成三角形。
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”
证明： 3. 在方程中的应用。
例：求方程的整数解。
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解。
解： 4、中考点拨。
例1.分解因式。
解： 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式。
解： 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式。
解： 说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：
解： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。
八年级数学培优
第1讲全等三角形的性质与判定 p2 11 第2讲角平分线的性质与判定 p12 16 第3讲轴对称及轴对称变换 p17 24 第4讲等腰三角形 p25 36 第5讲等边三角形 p37 42 第6讲实数 p43 49 第7讲变量与函数 p50 54 第8讲一次函数的图象与性质 p55 63 第9讲一次函...
八年级数学培优
1.下列实数，中无理数有 个个个个。2 计算的结果是 a 2b 3 cd 3 已知一次函数y mx n 3的图像如图所示，则m n的取值范围是 a b c d 4 如图在单位正方形组成的网格中标有ab cd ef gh四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 a cd ef gh b ab e...
八年级数学培优
初二数学培优练习8 ljf9.28 班级姓名学号成绩。1 2010年宁波市 如图，在 abc中，bd ce分别是。abc bcd的角平分线，则图中的等腰三角形有 a 5个b 4个c 3个d 2个。2 2010年湖北黄冈市 如图，过边长为1的等边 abc的边ab上一点p，作pe ac于e，q为bc延长...