直线参数方程（第一课时）学案。
目标点击：1． 掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；
2． 熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；
基础知识点击：
1、 直线参数方程的标准式。
1)过点p0()，倾斜角为的直线的参数方程是 （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，p() 为直线上任意一点。则=t∣∣=t∣
2)若p1、p2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则=t2－t1 ∣∣t 2－t 1∣
3) 若p1、p2、p3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3则p1p2中点p3的参数为t3＝,∣p0p3∣=
4)若p0为p1p2的中点，则t1＋t2＝0，t1·t2<0
2、 直线参数方程的一般式过点p0()，斜率为的直线的参数方程是。
（t为参数）
一、直线的参数方程。
问题1：（直线由点和方向确定）
求经过点p0()，倾斜角为的直线的参数方程。
设点p()是直线上任意一点，（规定向上的方向为。
直线l的正方向）过点p作y轴的平行线，过p0作x
轴的平行线，两条直线相交于q点。
1)当与直线同方向或p0和p重合时，p0p＝|p0p| 则p0q＝p0pcos q p＝p0psin
2)当与直线反方向时，p0p、p0q、q p同时改变符号。
p0p＝－|p0p| p0q＝p0pcos q p＝p0psin 仍成立。
设p0p＝t，t为参数，又∵p0q＝，＝tcos
q p＝∴=t sin即是所。
求的直线的参数方程 ∵p0p＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点p0()到点 p()的有向线段的数量，且|p0p|＝|t|1.当t>0时，点p在点p0的上方；2.
当t＝0时，点p与点p0重合；3.当t<0时，点p在点p0的下方；
特别地，若直线的倾斜角＝0时，直线的参数方程为。
1 当t>0时，点p在点p0的右侧；
2 当t＝0时，点p与点p0重合；
3 当t<0时，点p在点p0的左侧；
问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一。
对应关系？我们把直线看作是实数轴，以直线向上的方向为正方向，以定点p0为原点，以。
原坐标系的单位长为单位长，这样参数t便和这条实。
数轴上的点p建立了一一对应关系。
问题3：p1、p2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ，则p1p2＝？∣p1p2∣=？p1p2＝p1p0＋p0p2＝－t1＋t2＝t2－t1∣p1p2∣=∣t2－t1∣
问题4：若p0为直线上两点p1、p2的中点，p1、p2所对应的参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？根据直线参数方程t的几何意义，p1p＝t1，p2p＝t2，∵p0为直线上两点p1、p2的中点，|p1p|＝|p2p| p1p＝－p2p，即t1＝－t2, t1t2<0
一般地，若p1、p2、p3是直线上的点，所对应的参数分。
别为t1、t2、t3，p3为p1、p2的中点则t3＝
∵p1p3＝－p2p3, 根据直线参数方程t的几何意义，∴p1p3= t3－t1, p2p3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,)
基础知识点拨：
1、参数方程与普通方程的互化。
例1：化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意。
义，说明∣t∣的几何意义。
解：令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0). k＝－=
设倾斜角为，tg=－,cos =－sin=
的参数方程为 （t为参数）
t是直线上定点m0（1，0）到t对应的点m()的有向线段的数量。由(1)、(2)两式平方相加，得∣t∣＝∣t∣是定点m0（1，0）到t对应的点m()的有向线段的长。
点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角，注意参数的几何意义。
例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t∣的几何意义。
解：原方程组变形为(1)代入(2)消去参数t， 得(点斜式)可见k=, tg=,倾斜角=普通方程为。
(1)、(2)两式平方相加，得∴∣t∣=
t∣是定点m0（3，1）到t对应的点m()的有向线段的长的一半。
点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程。
为即是直线方程的标准形式，(-2+()2=1, t的几何意义是有向线段的数量。直线的参数方程为是非标准的形式，12＋()2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半。
你会区分直线参数方程的标准形式？
例3：已知直线过点m0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义。
解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线的的普通方程，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中。
cos =,sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量。，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义。
点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意**决有关问题。
问题5：直线的参数方程能否化为标准形式？
是可以的，只需作参数t的代换。(构造勾股数，实现标准化) 令t= 得到直线参数方程的标准形式t的几何意义是有向线段的数量。
2、直线非标准参数方程的标准化。
一般地，对于倾斜角为、过点m0()直线参数方程的一般式为，. t为参数）， 斜率为。
1) 当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量。
2) 当≠1时，则t不具有上述的几何意义。
可化为令t=
则可得到标准式t的几何意义是有向线段的数量。
例4：写出经过点m0（－2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且。
求出直线上与点m0相距为2的点的坐标。
解：直线的标准参数方程为即（t为参数）（1）
设直线上与已知点m0相距为2的点为m点，且m点对应的参数为t,则| m0m|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式当t=2时，m点在 m0点的上方，其坐标为（－2－，3＋）；当t=-2时，m点在 m0点的下方，其坐标为（－2＋，3－）.
点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求m点的坐标较麻烦，
而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求m点的坐标较容易。
例5：直线（t为参数）的倾斜角。
解法1：消参数t,的＝－ctg20°=tg110°
解法2：化为标准形式： （t为参数） ∴此直线的倾斜角为110°
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