2.2.1 椭圆及其标准方程（1）
一、【教学目标】
重点： 椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。
难点：椭圆标准方程的建立和推导．
知识点：椭圆定义及标准方程。
能力点：如何探寻椭圆定义及标准方程的证明思路，数形结合数学思想的运用。
教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情。
**点：如何推导椭圆的标准方程。
考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题。
易错点：在用椭圆标准方程时， 学生一般在“焦点的位置”上容易出错。
拓展点：如何利用坐标法**其他圆锥曲线的方程。
二、【引入新课】
问题：2013年12月2日，“嫦娥三号”探测器顺利升空，其将携“玉兔号”月球车首次实现月球软着落和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。请问：
“嫦娥三号”飞船的运行轨道是什么？多**展示“嫦娥三号”运行轨道**．
椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式？
引出课题：椭圆及其标准方程。
曲线可以看做适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征。
学生实验：按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板，；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，**研究。（提醒学生：
作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）
提问：点运动时，移动了吗？点按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？
1． 在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？
2．改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3．当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？
学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的**过程，得出这样三个结论：
椭圆。线段。
不存在。设计意图】按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念，实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．
设计说明】让学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的**过程，得出椭圆的定义。
三、【**新知】
一）归纳定义。
椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
归纳总结：椭圆定义中要注意：“和”，“常数”及“常数”的范围。
常数大于）
思考：焦点为的椭圆上任一点，有什么性质？
令椭圆上任一点，则有。
设计意图]给学生充分的动手实践的时间，揭示定义的发现过程， 通过学生实验发现椭圆的轨迹问题， 培养学生归纳、概括、的能力（一般性**）．避免直接将定义抛给学生．
二）椭圆标准方程的推导
回顾：求曲线方程的一般步骤：（1）建系、设点、（2）写出点的集合（3）列式、（4）化简．（5）证明。
提问：如何建系，使求出的方程最简？
由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较，从中选择比较简洁优美的形式确定为标准方程。
已知椭圆的焦距，椭圆上的动点到两定点，的距离之和为，求椭圆的方程。
1）建系：以所在直线为x轴，以线段的垂直。
平分线为y轴，建立直角坐标系。
设点：设是椭圆上任意一点，为了使的。
坐标简单及化简过程不那么繁杂，设，则。
设与两定点的距离的和等于。
2）写点的集合：由椭圆的定义，椭圆就是集合。
3）列式： ∴
4）化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）
两边平方，得：
即。两边平方，得：
整理，得：
两边同除以，得 ①
由椭圆的定义知， 所以。
请同学观察右图，你能从中找出表示的线段吗？
由图可知，
令即，则方程可简化为：
整理成： ②
5)证明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解为坐标的点到椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程。
方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是。
讨论：如果以所在直线为轴，线段的。
垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？
让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言。
讨论得出：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．
设计意图] 通过学生自己思考、动手推导椭圆的方程加深学生对求轨迹方程的理解和掌握，强化学生化简变形的能力。
四、【理解新知】
椭圆的标准方程：
1） 焦点在轴上，焦点是。
2） 焦点在轴上，焦点是。
思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？
看，的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上)
归纳概括，方程特征。
1）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定。
4）椭圆标准方程中三个参数关系： ，最大，大小不定。
五、【运用新知】
例1．(1)求椭圆的焦点坐标。
2)椭圆的焦距为4, 求的值。
解：（1）由题意知焦点在轴上，
所以故椭圆的焦点坐标为：
2）当时所以。
当时所以 由上知： 的值为。
例2 已知椭圆的两个两焦点坐标分别是，并且椭圆经过点，求它的标准方程。
解：法一：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为。
由椭圆定义知：
所以： 又因为所以。
因此，所求椭圆的标准方程为。
法二：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为。
因为椭圆经过点所以： 又因为：
所以解方程得： 因此，所求椭圆的标准方程为。
归纳总结：1、求椭圆标准方程的步骤。
1）“定位”即确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上。
2）“定量”即确定的具体数值。
2、求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法及定义法。
变式：（1）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点到两焦点距离和等于，求它的标准方程。
答案： 2）已知椭圆的焦距等于8，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10，求椭圆的标准方程。
答案： 课堂练习：
1．已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）
a） （bcd）
2．是定点，且，动点满足，则点的轨迹是（ ）
a）椭圆 （b）直线 （c）圆 （d）线段。
3．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一焦点的距离为（ ）
a）2 （b）3 （c）5 （d）7
4. 写出适合下列条件的椭圆标准方程。
1），焦点在轴上；
2）,焦点在轴上，；
答案：1 a 2 d 3 d
六、【课堂小结】
1．知识：椭圆的定义及标准方程．标准方程中的关系焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系。
2．思想：曲线与方程的轨迹思想，方程的思想、分类讨论的思想、待定系数法．
在归纳总结的基础上，填下表。
椭圆定义是用实验的方法的引出，椭圆标准方程的推导体现了曲线与方程的轨迹思想， 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容，“温故而知新”．在应用中加强对椭圆定义，标准方程，参数的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
七、【布置作业】
1．阅读教材p38—40；
2. 书面作业
必做题：p49 习题2.2 a组 1，2.
选做题：1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，求的范围。
2. 已知，是两个定点，周长为，求顶点的轨迹方程。
3．课外思考方程什么时候表示椭圆？什么时候表示焦点在轴上的椭圆？什么时候表示焦点在轴上的椭圆？
八、【教后反思】
1、本教案的亮点是新课的引入及两个例题。在引入中利用“神九”激发兴趣，通过动手实验加深对定义的理解。在例1的教学中，让学生回答方法、通过分类讨论，深刻掌握椭圆的方程，例2一题多解，让学生说明思路的由来过程，一题多解开阔思路．变式既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力．
2、由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须做好定义的**及公式的推导。
3、本节课的弱项是由于整堂课容量较大，在课堂上个别地方没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析。
九、【板书设计】
椭圆及其标准方程 第一课时
2.2.1 椭圆及其标准方程 第一课时 学生版 一 目标 目标一旦确定，就要朝着它努力前进！1 根据生活中装修吊顶工程的例子，从具体情境中抽象出椭圆。2 探索椭圆的标准方程的推导及简化过程。3 掌握椭圆的定义 标准方程及几何图形。二 探索实验 数学 于生活，对数学的探索，也就是对生活的探索。装修吊顶...
椭圆及其标准方程 第一课时
作者 罗兆阳。学校教育研究 2019年第13期。一 课程标准。1.课程目标。了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，经历从具体情境中抽象出椭圆，掌握它的定义及标准方程，注重使学生体会曲线与方程的对应关系，感受数形结合的基本思想。2.实施建议。1 应用多种教学方法和手段，引导...
椭圆及其标准方程说课稿 第一课时
一 说教材。本节课是 圆锥曲线方程 的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完 直线和圆的方程 的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础 同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重...