新授课 2.1曲线与方程（第一课时）
2.1.1曲线与方程。
一、【教学目标】
重点： 通过理解方程的解与曲线上的点一一对应的关系，理解曲线的方程、方程的曲线的概念。
难点：对曲线与方程的概念的理解。
知识点：能说出曲线的方程和方程的曲线的概念的定义，并结合具体例子对定义进行解释。 可以求出简单曲线的方程，画出简单方程的曲线。
能力点：用合适的方式解释曲线的方程的作用，说明解析法的价值。
教育点：加深对数形结合的理解。
自主**点：把自己在理解或解决曲线的方程和方程的曲线问题过程中的经验、困难或者教训与老师和同学交流，获得更好的理解和方法的改进。
考试点：把曲线（图形）看成点运动的结果，把对一个整体图形的研究变为对图上任意点的特点的研究。
易错易混点：自觉按照规范的步骤分析解决相关问题，自变量范围的界定。
拓展点：链接高考。
二、【引入新课】
创设情境]提问：在必修2中我们过直线和圆，然而直线和圆我们在初中都做了非常系统、深入的研究，那么，与初中相比，高中研究的方法有什么不同呢？借助直线或圆的方程我们都研究过哪些问题？
老师引导学生得出：用解析的方法，研究直线的位置关系（如平行、相交、重合），直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系……
老师在学生回答的基础上从如下几个方面做总结提升：
第一，对比初、高中对直线和圆的研究，我们发现，研究的问题都是相似的，但是研究的方法不同。初中是借助平面几何图形复杂的推理论证解决问题，而高中是利用方程，凭借几条简单的数的运算法则解决问题的。
第二，在今后的学习中，我们会发现方程的作用很强大，利用方程我们可以研究更多的几何图形（曲线），对几何图形的认识会更加深入、更加细致。
本节课，我们将继续研究一般曲线与方程的关系，进一步体会曲线、方程两个不同领域的对象是怎样结合在一起的。
设计意图】从学生的认知基础出发，讨论初中、高中在研究直线、圆两个几何对象的异同点。高中主要是对这些几何对象和它们间的关系用代数的、主要是方程的方法、方程的语言做了重新的描述，于是，这些几何对象、几何关系就成为了代数的对象、代数的关系，实现了几何问题代数化。把借助形象、综合的几何性质进行推理的问题变成了代数运算问题（机械化，借助于几条稳定的而可靠的运算性质得到更为丰富的结论），对对象的认识更加准确。
进一步激发学生对一般曲线与方程关系的研究兴趣。
三、【**新知】
**一、 曲线的方程与方程的曲线。
问题1．在直角坐标系中，平分第。
一、三象限的直线与方程有什么关系？
解答：如果是这条直线上的任一点，它到两坐标轴的距离相等，即，那么它的坐标是方程的解；反过来，若是方程的解，即，那么以这个解为坐标的点到到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
问题2.以为圆心，为半径的圆和方程有什么关系。
解答： 如果是圆上任一点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即也就是，这说明它的坐标是方程的解；反过来，若是方程的解，即，也就是即以这个解为坐标的点到点的距离为，它一定在以为圆心，以为半径的圆上．
结论：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
问题3. 曲线上的点的坐标都是方程的解，能否说是曲线的方程？
解答：不能，还要验证以方程的解为坐标的点是不是都在曲线上．如以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分和方程。
总之，曲线与方程可以看作是同一事物的两种不同的表现形式，其关系如右图．曲线的方程是曲线的代数形式，方程的曲线是方程的几何形式，曲线的性质可以在方程中体现出来，方程的性质也可以通过曲线反映出来。
设计意图】“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．因此，这里通过设计可能暴露学生认识缺陷的问题，通过对话澄清、强化概念。
**。二、由方程判断曲线。
例1．下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．
解 (1)中曲线上的点不全是方程的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；
2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；
3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”,“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：
设计意图】通过观察、分析，完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例子，又观察、分析了以上问题中所出现的方程和曲线间所建立的不完整的对应关系，加深对概念的理解．准确地作出图形是以上求解分析的关键．
**。三、点和曲线的关系。
例2. 已知方程。
1)判断点是否在此方程表示的曲线上；
2)若点在此方程表示的曲线上，求的值．
解 (1)∵，在方程表示的曲线上，不在此曲线上．
2)∵在方程表示的曲线上，.
解得或。设计意图】(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题。
四、【理解新知】
1.曲线与方程的关系如图所示。
2. 判断方程表示什么曲线，必要时可对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．
3.判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
4.已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题。
五、【运用新知】
例3.判断下列命题是否正确：
1)设点，则线段的方程是；
2)到原点的距离等于5的动点的轨迹方程是；
3)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是。
解： 命题(1)中方程表示一条直线，坐标满足该方程的点如等不**段上，故命题(1)错误；
命题(2)中到原点距离等于5的动点的轨迹方程为，方程表示的曲线是圆除去轴下半部分的曲线，故命题(2)错误；
命题(3)中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为，满足，反过来坐标满足方程的点到两坐标轴的距离相等，故命题(3)正确．
变式练习1.
(1)已知方程表示的曲线经过点和点，求的值；
2)若曲线过点 ，求的取值范围．
解 (1)∵点和点都在方程表示的曲线上，点和点的坐标都是方程的解．
2)曲线过点，设计意图】通过变式练习进一步加深对概念的理解．
课堂巩固练习。
1．已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么( )
a．曲线上的点的坐标都适合方程。
b．凡坐标不适合的点都不在上。
c．不在上的点的坐标必不适合。
d．不在上的点的坐标有些适合，有些不适合。
2．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是。
六、【课堂小结】
．学习了曲线的方程、方程的曲线的概念，这个概念的本质就是曲线上的点与方程的解存在一一对应的关系。所以今后在求曲线的方程时要有意识地从这两个方面加以验证，养成检验的习惯。
．获得曲线的方程的方法就是将曲线视为点的集合，并将点所满足的条件用点的横、纵坐标之间的关系来表示，就得到了方程。这一过程体现了数形结合的思想方法。连接几何与代数的桥梁就是平面直角坐标系。
设计意图】 加强对学生解题方法的指导．
七、【布置作业】
1.课本第37页练习1,2；
2.课本第37页习题２.１第１题；
设计意图】书面作业的布置，是为了让学生能够所学知识解决问题，规范书写，培养学生解决问题的能力．
八、【教后反思】
.曲线上点的坐标都是方程的解；方程的解都是曲线上的点，那么这个方程就叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线。学生对于这句话还是理解的，但是不清楚每句话的作用，也不太理解为什么要这样描述曲线的方程和方程的曲线，有比这更容易理解的描述为什么不用，其实通过正例、反例的对照就可以让学生明白；通常直接法、定义法等求轨迹方程时，学生没有习惯验证一一对应，不能自觉地补点、抠点等等。
教师应该引导学生将已知条件等价转化为所求方程，对于有些条件可以暂时不考虑，但是在求得方程之后要综合进行考虑这个条件的作用。曲线与方程是对应的，反过来曲线上扣去的点也是方程要去掉的解。
2.本节课的亮点是能通过**和变式练习让学生全程参与建构概念，使学生保持浓厚的学习兴趣。
九、【板书设计】
第一课时 曲线与方程
第一课时 曲线与方程。学习目标 1 理解曲线与方程的关系 2 掌握求动点轨迹方程的常用技巧与方法 3 在解决问题的过程中，体会几何问题代数化的基本思想，体会平面直角坐标系在几何问题代数化中的桥梁作用，提升转化能力 学习重点 曲线与方程之间的关系 求曲线的方程。学习难点 曲线与方程之间的关系 求曲线的...
求曲线的方程 第一课时
编辑寄语 本教案是我对整节课或本课时需要达到的目标进行的归总，希望对老师有所帮助。课题 求曲线的方程 第一课时 教学目标 1 了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题 2 进一步理解曲线的方程和方程的曲线 3 初步掌握求曲线方程的方法 4 通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力 ...
双曲线及其标准方程 第一课时
学习目标 1 了解双曲线的定义 焦点 焦距等基本概念 2 了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求出双曲线的基本量 学习过程 一 课前自主学习。1 预习教材p45 p48 1 问题1 把椭圆定义中的 距离的和 改为 距离的差 那么点的轨迹会怎样？如图定点点移动时，是常数，这样就画出一条曲线 由是同一常...