“双曲线及其标准方程（第一课时）”
课例分析。授课时间：2023年11月。
学生状况：大庆二十八中是一所市重点中学，所授的高二（6）班是文科平行班，学生知识水平、能力水平属中等。（注：学生语言加以润色）
授课地点：高二（6）班（有多**设备）
一、 复习引入。
教师：在前面，我们学习了椭圆，请同学们回忆一下，椭圆的第一定义是什么？标准方程是怎样的？椭圆具有哪些几何性质？
分别请三名同学回答，皆能答出，回答性质时，学生需先翻书才能作答）（注：最好先引新课，不要复习椭圆的性质，复习性质不利于衔接新课）
教师：（幻灯片打出热电厂的木栅，形似双曲线）生活中，许多实际物体有着双曲线的形象，请同学们想一想，还有那些物体具有双曲线的形状？
学生1：发电厂的烟囱。
（回答准确）
学生2：花瓶的形状。
教师：很好，大家对双曲线有了外部认识，请大家翻书阅读教材p104-105
学生阅读教材耗时3分钟）
注：以**和提问生活中的双曲线型引课，效果欠佳，此种方式对高二学生意义不大，另外，“学生2”回答的准确性有待考察，关于此课的引课后面有详细分析）
二、 新课教学。
（教师取一条拉链，请两名同学帮忙进行“拉锁试验”）
教师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边各选择一点（让学生按两点在黑板上），分别固定在f1,f2上。把粉笔放在点m处（拉锁头），随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线。
（让学生帮助，教师点播演示，课堂气氛融洽）
教师：好，这样形成的曲线叫双曲线。谁能告诉我双曲线的定义？
学生：……沉默。
教师：“椭圆”我们这样定义：到两定点f1,f2距离之和为定值2a，双曲线也按此格式定义。
学生3：平面与两定点f1,f2的距离的差的绝对值等于常数（常数< ∣f1f2∣）的点的轨迹。
教师：这两个定点以及焦点间距离叫什么？
学生3：焦点和焦距。
教师：好，这就是双曲线的定义（投影片打出），大家把它记住。
教师（设问）：m 到f1,f2的距离的差是否会大于或等于∣f1f2∣？
学生4：（基础较好）应小于∣f1f2∣且大于零。当常数=∣f1f2∣时，轨迹是以f1f2为端点的两条射线；当常数〉∣f1f2∣时，无轨迹。
注：设问顺应学生思维，变化课本方案，有助于加深对定义理解）
教师：下面，我们来推导双曲线的标准方程，求曲线方程分几个步骤？请大家举手回答。
学生4：三个步骤，第一，建系设点；第二，写出曲线上的点满足的关系式f(x,y)=0；第三，化简方程。
教师：很好！现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请同学们思考。
随即引导学生用练习本进行双曲线标准方程的推导。
教师巡视，大多数同学建系设点以及关系式都不成问题，只是在整理上的工夫有差距，教师请一位优生进行板演。
学生5： -2a
移项两边平方后整理得：
cx-a=±a
两边再平方，整理。
c-a)x-ay =a (c-a)
学生返回，教师加以点评。
教师：我们在整理两个根号时，平方 -〉移项 -〉再平方，十分有效，这种方法在椭圆的整理使用过。
经此提醒，众学生反应过来：“还可以继续化简……”
教师：大家说的对，为了使方程形式简单，我们进行下面的指令（以下，边问边板书）
因为双曲线中2c>2a,即c>a,所以c-a〉0
令c-a=b (b>0)代入“学生5”的式子，得。
1 (a>0,b>0)
教师：这个方程我们叫做双曲线的标准方程。（用强调语气）它的焦点是那个轴上的？
学生（齐）：x轴。
教师：坐标呢？
学生：(-c,0),(c,0)
教师：很好，同学们说得很对，下面思考一下焦点在y轴上的双曲线方程是什么样的。教师立刻给出焦点在y轴上的双曲线的幻灯片。
（学生在思考，小声议论：和椭圆类似）
学生6：（主动举手）方程是=1
教师：为什么是这样的形式？
学生6：…思考，不答。
教师：好，请坐，大家一起观察图1，图2，看它们的差异，图1中y轴的值对应图2中x轴的值。
学生思考，有一学生要求回答）
学生7：它们关于直线y=x对称，所以方程形式上只需将y和x互换位置。
教师：对，两双曲线关于y=x对称，由对称性可得焦点在y轴上的双曲线方程。（用疑问口气）那现在它的焦点坐标是什么？
学生（齐）：（0,-c）,（0,c）
教师：利用幻灯片总结，边口述，边放映）
1、双曲线的标准方程与其定义可联系起来记忆，定义中有差，则方程“-”号连接；
2、双曲线方程中a>0，b>0，但a不一定大于b；
3、如果x2系数为正，那么焦点在x轴，如果y2系数为正，那么焦点在y轴上；
4、双曲线中c=a+b椭圆中a=b+c;
学生很注意看，教师环视一周，给学生时间接受知识）
注：学生属中等类型，数学基础、归纳总结能力不是很强，教师一字一句总结，再给学生时间思考，很有必要）
教师小结：本节课我们学了（教师板书）
一、 双曲线定义。
二、 标准方程。
三、 焦点坐标。
四、 a，b，c关系-〉c=a+b
希望大家记住，并与椭圆加以对比。
（注：教师总结可由学生取代，另外这几项板书放在新课进行时的各对应位置更好，这样，总结时只需让学生指点黑板上的大标题即可）
教师：下面我们来考虑下面的问题。
幻灯片给题）
例1：说明：椭圆=1与双曲线x-15y=15的焦点相同。
(点了两名好学生板演，教师加一点拨)
例2：已知两点f1(-5,0),f2(5,0)，求与它们的距离的差的绝对值为6的点的轨迹方程。
（由教师讲解）
教师：按定义，可认为所求轨迹为双曲线。
下面是幻灯片演示。
a=3,c=5 从而b=c-a=25-9=16，故所求双曲线的方程为=1
若2a=12，则2c=10且2a>2c，所以动点无轨迹；
绝大多数同学点头同意）
注：学生除接触椭圆，解题习惯尚未培养，这种题目，教师板演绝对强于幻灯片给题，学生、教师的相互笔算配合必须引起重视）
教师：这两道题同学们听懂后，思考下面的问题：双曲线的标准方程可否统一写为ax2-by2=1,若能，a,b之间什么关系？
学生大多动笔记下）
说明：有关双曲线的性质方面知识，下节课解决。
注：整节课知识传授任务完成，时间掌握略有缺欠，以至没有学生练习）
尊重学生差异准确把握教材。
—关于本节课的几点看法。
人的发展本来就不平衡，教师在教学中要面向全体，注重个体差异，因材施教，这其实是对学生的一种尊重。教师在教学中，灵活运用教学方法，精心设计每一个环节，保证课堂的高容量，保证课堂的高效性，其实是对学生的负责。本节课，教师领悟重点，引导学生发现问题、解决问题，内容紧凑，准备充分，很多地方值得借鉴。
下面，我就本节课谈个人的几点看法：
良好的开篇是成功的一半。好的引课能使学生迅速进入状态。教师授课班级，学生状况中等，上课开始，教师通过复习椭圆定义以及性质引课，耗时7分钟，学生基础一般，“椭圆定义”的复习不会对本节课有太大帮助，而且还冲淡了“双曲线”这个新概念的新颖性。
我个人认为，最好由椭圆定义直接引新课，不复习性质，这样衔接更好。
具体操作：教师：我们前面学习过椭圆，谁能告诉我椭圆的定义是什么？
学生：到两个定点距离之和为定值的点的轨迹…
教师：那么，到两个定点距离之差为定值的点的轨迹是什么？
接下来“拉锁实验”）
这就是我们这节课要学的“双曲线”（板书课题）
数学是一种逻辑，对于它的掌握，必须用熟练加以保证。整节课，教师对定义的挖掘已经十分透彻，还做了“拉锁实验”，而且，教师教法灵活，在定义导出后，通过对“学生4”的提问深化了定义，激活了学生思维，对于培养学生的发散思维大有帮助，可见教者备课确下了一番功夫。从定义、公式到“做题”,这对于基础较弱的本班学生的影响是深远的。
另外，时间把握上，教者略显经验不足，前松后紧，造成做题时间过少，学生压力随之加大。
教学是一门值得研究的艺术，这堂课有着很强的真实性，这是很宝贵的，相信在这样持之以恒的真实中，定能创造出真实的教学艺术。张东辉。
椭圆及其标准方程说课稿 第一课时
一 说教材。本节课是 圆锥曲线方程 的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。这一节课是在学完 直线和圆的方程 的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础 同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备。因此本节内容起到一个承上启下的重...
抛物线及其标准方程》 第一课时 精
高中数学选修2 1 撰稿教师 吴晓静。授课教师 吴晓静 授课班级 高二 5 班。教学设计。教学目标 1 内容标准 掌握抛物线的定义 方程及标准方程的推导 掌握抛物线焦点 焦点位置与方程关系 焦距 2 知识与能力 1 掌握抛物线的定义 几何图形 2 会推导抛物线的标准方程 3 能够利用给定条件求抛物线...
方程 第一课时
苏教版五年级数学下册。第一单元 方程导学案。靖西市新靖中心小学五年级班任课教师 一 教学时数 课时1 二 学习目标 1 了解天平所表示的意义 2 通过天平表示数量间的等量关系，认识等式 通过天平的平衡 倾斜情况，判断数量间哪些是等式 3 认识方程，并认清等式与方程的关系。三 开始学习吧！1 复习 比...