第一章集合与常用逻辑用语。
考纲解读、把握方向】
1.以集合的含义、元素与集合的关系、集合的表示方法为内容考查集合的概念．
2.以集合相等、集合的包含关系(子集)、空集为内容考查集合关系．
3.以集合的交、并、补为内容考查集合的基本运算．
教材梳理、基础自测】
一、集合与元素。
1．集合元素的特性无序性．
2．集合与元素的关系：若a属于集合a，记作 ；若b不属于集合a，记作 .
基础自测1] 已知a∈r，若＝，则a＝__
解析：≠0，a≠0，a2≠－1，只有a2＝1.
当a＝1时，＝1，不满足互异性，∴a＝－1.
基础自测2] 已知集合m＝，则下列关系正确的是( )
a．0∈mb．0m
c．0m d．3∈m
解析：二、集合的表示方法。
1．集合的表示方法图示法．
2．常见数集及其符号表示。
基础自测3] 已知集合a＝，集合b＝，全集为u，则图中阴影部分表示的集合是。
a. b.
c. d.
解析：选阴影部分为a∩ub＝．
三、集合间的基本关系。
基础自测4] (2015·成都龙泉驿区押题试卷)已知集合a＝(a∈r，i是虚数单位)，若ar，则a＝(
a．1 b．－1
c．±1 d．0
解析：基础自测5] 若p＝，q＝，则( )
a．pq b．qp
c．rpq d．qrp
解析：选c.∵p＝，∴rp＝.
又∵q＝，∴rpq.
四、集合间的基本关系。
基础自测6] 已知集合a＝，b＝，a∩b＝，则m＝__
解析：基础自测7] 设u＝，a＝，若ua＝，则实数m等于___
解析：由ua＝及u＝可知a＝，即方程x2＋mx＝0的两个实数根分别为0,3，故m＝－3.
考点突破、题型透析】
突破一搞清集合元素的特征。
对于一个给定的集合，集合中的元素间是确定的、互异的、无序的．
1)确定性：对于一个集合a和某一个对象a，则a∈a，或者aa，二者必居其一．
2)互异性：集合中不能出现相同的元素．
3)无序性：集合中的元素没有前后的次序．
题1．(2015·临沂质检)已知集合a＝，b＝，若9∈(a∩b)，则实数a的值为___
解析：∵9∈(a∩b)，∴9∈a且9∈b，2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
当a＝5时，a＝，b＝，符合题意；
当a＝3时，a＝，b不满足集合中元素的互异性，∴a≠3；
当a＝－3时，a＝，b＝，符合题意．
a＝5或a＝－3.
题2．已知集合a＝，b＝，a∪b＝a，则m＝(
a．0或 b．0或3
c．1或 d．1或3
解析：选b.由a∪b＝a得ba，得m∈a，所以m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1，故选b.
悟】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
突破二明确集合的表示方法及意义。
集合的描述法：a＝，它表示集合a是由集合i中具有性质p(x)的所有元素构成的．
题1．(2013·高考山东卷)已知集合a＝，则集合b＝中元素的个数是( )
a．1 b．3
c．5 d．9
解析：选c.因为x∈a，y∈a，所以。
当x＝0时，y＝0或y＝1或y＝2，此时x－y＝0或x－y＝－1或x－y＝－2；
当x＝1时，y＝0或y＝1或y＝2，此时x－y＝1或x－y＝0或x－y＝－1；
当x＝2时，y＝0或y＝1或y＝2，此时x－y＝2或x－y＝1或x－y＝0，所以集合b＝共五个元素，故选c.
题2．已知集合a＝，b＝，c＝，则集合c中所含元素的个数为( )
a．5 b．6
c．12 d．13
解析：悟】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。
突破三区分子集、真子集。
1)“a是b的子集”的含义是：集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素，即由任意x∈a，能推出x∈b.即ab.
2)符号“”包括两层含义：其一，a是b的真子集，即a b；其二，a和b相等，即a＝b.结论：ab就是指a b或a＝b.
3)“a b”即b中至少比a中多一个元素，ab，但a≠b.
题1．(2015·厦门模拟)已知集合a＝，b∩a＝，b∪a＝，则集合b的子集的个数为( )
a．6 b．7
c．8 d．9
解析：题2．满足a的集合a的个数为。
解析：集合a除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合a的个数等于的非空子集的个数，即为23－1＝7.
悟】若集合a中有n个元素，则其子集个数是2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
突破四明确是否含有端点(等号)
已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．
题1．已知集合a＝，b＝(－a)，若ab，则实数a的取值范围是(c，＋∞其中c
解析：悟】在用数轴法计算、判断集合关系时，其端点能否取到一定要注意用回代检验的方法来确定。如果两个集合的端点相同，两个集合是否能同时取到端点往往决定集合之间关系。
突破五数轴法求集合的运算。
当集合为不等式解集时，常用数轴法进行运算，其步骤是：
1)化简集合；
2)将集合在数轴上表示出来；
3)进行集合运算求范围，重叠区域为集合间的交集，合并区域代表集合的并集．
题1．(2014·高考新课标全国卷ⅰ)已知集合a＝，b＝，则a∩b＝(
a．[－2，－1b．[－1,2)
c．[－1,1] d．[1,2)
解析：选a.由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合a＝，又集合b＝，由数轴分析法知a∩b＝，故选a.
题2．(2013·高考浙江卷)设集合s＝，t＝，则(rs)∪t＝(
a．(－2,1] b．(－4]
c．(－1] d．[1，＋∞
解析：选。rs＝，由数轴分析法知(rs)∪t＝．
悟】作图时，范围中如果包含端点，就画成实点，不包含就画成小圆圈，避免因端点值的取舍而造成增解或漏解，一般可用端点值代入检验．
突破六 venn图法求集合的运算。
当集合内的元素是离散的，进行集合运算时可用定义法或venn图法．在应用venn图时，全集方框内的元素要不重不漏，对每个集合的确定要准确．
题1．(2014·高考北京卷)已知集合a＝，b＝，则a∩b＝(
a. b.
c. d.
解析：题2．(2013·高考重庆卷)已知全集u＝，集合a＝，b＝，则u(a∪b)＝(
a. b.
c. d.
解析：选d.(借助venn图求解)a∪b＝，u(a∪b)＝，故选d.
悟】画图时，要注意各个集合间的关系和画法，如：
失分警示、谨防陷进】
空集的呐喊——勿忘我。
空集是任何集合的子集，即对于任一集合a，有a.空集是任何非空集合的真子集．当遇到“ab”时，要注意是否需要讨论a＝或a≠两种情况，即“优先原则”．
题1：已知集合，集合，且，求实数的可能值组成的集合。
解析：易得集合。
即集合是集合的子集，则或或或（舍）
1）当时，即集合无解，故；
2）当时，即方程的解为，故，即；
3）当时，即方程的解为，故，即。
综上，实数的可能值组成的集合为。
悟】（1）在解答本题时，存在两个典型错误．一是易忽略对空集的讨论，如b＝时，a＝0；
二是易忽略对字母的讨论．如－可以为2或3.
2)从集合的关系看，ba，则b＝或b≠，勿遗忘b＝的情况．
3)对含字母的问题，注意分类讨论．
应考迷津、考前指导】
1)集合元素的三个特征．
2)集合的子集与交、并、补的运算性质．
如aba∩b＝aa∪b＝buauba∩ub＝.u(a∩b)＝(ua)∪(ub)，u(a∪b)＝(ua)∩(ub)．
3)认清元素的意义，避免数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等，如与以及分别表示函数y＝的定义域、值域以及函数图象上的点集．
4)集合并、交、补运算的定义．
第一课时导数的概念及运算
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第一课时集合的概念
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