第一课时 1 1集合的概念

第一章集合与简易逻辑。

第一课时：§1.1集合的概念。

教学目的：①知识目标：掌握集合、子集、全集、空集的概念，熟练运用集合的各种表示方法及集合与集合、元素与集合的关系符号．

能力目标：能够将两集合间的关系和方程与不等式相互转化，求解相关问题；

情感目标：能正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化；学会集合中的分类思想，学会有条理的分析问题。

教学重点、难点及其突破：集合是高中数学中最基本的概念，也是历年高考的必考点。本节复习的重点是：

(1)集合中元素的确定性、互异性和无序性；(2)表示集合的列举法、描述法和图示法；(3)集合语言与集合思想的运用。解答集合问题，要正确理解集合的有关概念，对于用描述法组出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质p．熟练掌握集合的图形表示(即韦恩图或称文氏图)、数轴表示等基本方法，并树立借助韦恩图、数轴解决集合问题的意识——属于“画图意识”或“数形结合意识”这一大意识．明确集合元素的确定性、互异性和无序性，并注意此性质在解题中的应用。

教学方法：讲练结合法。

高考要求及学法指导：高考对集合概念考查有两种主要方式：一是直接考查集合概念；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想的运用，小题目综合化是这部分内容的一种命题趋势。

解决的关键是抓住集合中元素的三个特性，明确元素的本身属性，正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．

知识网络。教学过程：

一、知识点复习：

1、集合的概念：由一些确定对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做这个集合的元素；含有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集．如果a是集合a的元素，就说a属于集合a，记作a∈a；如果a不是集合a的元素，就说a不属于a，记作。

2、集合的表示法：

列举法：如方程的解集表示为．

描述法：如方程的解集表示为。

3、集合的特性：

1)确定性对于集合a和某一对象x，有一个明确的判断标准是x ∈a，还是，二者必居其一，不会模棱两可．

2)互异性集合中的相同元素只算是一个，如方程的两个等根，用集合记为，而不写为．

3)无序性集合中的元素是不排序的如集合与是同一个集合，（但实际上书写时还是按一定顺序写，如而不写成这样写不方便）其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”．

思考：与表示同一集合吗？

4、子集、交集、并集和补集：

1)子集：对于两个集合a与b，如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，那么集合a叫做集合b的子集，记作ab(或ba)，显然a a．规这空集是任何集合的子集．即a如果a是b的子集，并且b中至少有一个元素不属于a，那么集合a叫做集合b的真子集，记作a b(或b a)．

2)集合相等：若a b 且 b a，则 a=b

3)交集：由所有属于集合a，且属于集合b的元素组成的集合，叫做a、b的交集，记作a ∩ b =

4)并集：由所有属于集合a或属于集合b的元素组成的集合，叫做a、b的并集，记作a ∪ b，即a∩b＝

5)补集：集合a是集合u的子集，由u中所有不属于a的元素组成的集合，叫做u中子集a的补集，记作①cu a，即：cu a=

二、例题选讲：

一）基础知识扫描。

1、集合中元素具有性性性，集合的表示方法有元素与集合用联结，集合与集合用联结，2、已知a=，b=，则下列结论不正确的是( )

3、已知集合，用另一种方法表示为。

4、若，，则( )

5、下列命题中真命题的个数是( )

a．1b．2c．3d．4

6、集合的子集共有( )

a．7个b．8个c．6个d．5个。

二）典型例题分析：

题型1：集合的基本概念．

此类问题主要有两类，一是元素和集合之间的关系问题；二是集合与集合之间的关系问题．关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性．然后依据集合的有关概念，特别是集合中元素的三个性质；对于用描述法给出的集合，竖线前方的x是代表元素．该集合是使命题p(x)为真的a中诸元素之集合．

例1 选择题：(1)已知集合，q=，r=，m=，n=，则( )

2)定义差集，若a=，b=，则b－a等于( )

a．ab．bc．

解析 (1)集合p是用列举法表示，只含有一个元素，即函数，集合q,r,n中的元素全是数，即这三个集合都是数集．集合q是函数的值域；集合n是不等式的解集；而集合m的元素是平面上的点，此集合是函数图象上所有点组成的集合．∴应选d．

2)理解m－n属于m但不属于n的元素组成的，所以b－a的元素应属于b，但不属于a，所以答案为c．

点评解集合问题时，对集合元素的准确识别十分重要，不允许有丰点差错，否则将导致解题的失败．

明确集合中元素的本身属性是解决集合问题的钥匙．

例2 已知，若1∈a，求实数a的值．

分析：∵1∈a．则a＋2，，都可能为1，则需分类讨论解决，且必须验证。

解：①若a + 2 = 1，则a = 1，此时a = 与集合中元素的互异性矛盾，（舍去）

若＝1，则a=0或a = 2.

当a=0时，a=，满足题意；

当a=－2时，a=与集合中元素的互异性矛盾，(舍去)．

若＝1，则a＝－1 或a＝－2 (舍去)．

综上所述a = 0．

点评本例考查了集合中元素的互异性和分类讨论的思想，在解决集合的元素问题时，互异性至关重要．

题型2：集合中元素的性质．

集合中元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性，其中互异性考查最多，而且考查具有隐蔽性．

例3 设集合，b，且a=b，求实数x和y的值及集合a,b.

分析因为集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，解此题时应注意集合的元素满足这三个性质．由已知条件a=b，可知0∈a，然后由此讨论求解．

解：∵a＝b，0∈b，∴0∈a

若x＋y＝0 或x－y＝0．则，这样集合b中有重复元素，根据集合元素，与互异性相抵触，故x＋y≠0 ，x－y≠0

① 或 ②

由①得或或；由②得或或。

当x=0，y=0时，x－y=0，故舍去。

当x=1，y=0时，x－y=x＋y=1，故也舍去．

或∴a=b=

点评两个集合相等则它们的对应元素相等。如果是数集，则它们元素的和与积也相等．

题型3：子集的问题．

此类题以集合为背景，求子集的个数、集合中元素个数等，常用的解法是：①子集个数公式；②图示法等．

例4 (1)已知集合a满足a，则所有满足条件的集合a的个数___

2)已知集合m满足m 则不同的m的个数是。

3)设① a；②当时，必有，则同时满足条件①，②的非空集合a的个数为。

解析 (1)a中必须含有1，2两个元素，也可以含有3，4，5中的全部或部分元素，∴满足条件的a有，2)记a=,b=,b/=,则a∩b/=φa∪b/=b,．满足条件amb的每一个集合m，对应着的一个真子集．所以符合题意的集合m的个数等于集合的真子集的个数．而的真子集共有23－１＝7个个．所以，满足amb的集合m共有7个．

3)将元素配对：(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4)，以这些元素对为元素，共有非空子集个．

点评：一般地含有n个元素的集合，有个子集，－1 个真子集，－1个非空子集，－2个非空真子集．

例5 已知集合。

1)若a是空集，求a的取值范围．

2)若a中只有一个元素，求a的值并把这个元素写出来．

3)若a中至多有一个元素，求a的范围．

分析讨论方程实数根的情况，从中确定a的取值范围，由题意，方程有一个实根、两个相等实根或无实根．

解 (1)若a为空集，则方程无实数解，∴，

2)当a=0时，，符合题意；当a≠0 时，，

所求实数a=0或时，a中只有一个元素，为或。

3)综合(1)(2)得，若a至多有一个元素，则a=0或。

点评 “a=0”这种情况容易被忽视，对于方程有两种情况，一是a=0，它是一元一次方程；二是a≠0，它是一元二次方程，只有在这种情况下，才存在判别式△．

题型4：应用性问题。

例６为配合教育形式，某地一学校组织高一学生对本地农户进行抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( )

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