组合（第一课时）
教学目标： 1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；
2、掌握组合数的计算公式；
3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力；
教学内容：组合的概念及组合数的计算方法。
教学重点：组合的概念、组合数。
教学难点：解组合的应用题。
教学方法：排列与组合结合法。
教学过程设计。
一、知识回顾。
1、排列的概念。
一般地，从个不同的元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
2、排列数概念。
一般地，从个不同的元素中每次取出个元素的所有排列的个数，称为从个不同元素中取出个不同元素的排列数，记作。
3、排列数计算公式：
二、学习新课。
课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。
问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？)
解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为，对应的排列为：
甲乙乙甲。甲丙丙甲。
丙乙乙丙。变化后的问题对应的可能情况为：
甲乙。甲丙。
丙乙。分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念）
组合。一般地，从个不同的元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合。
分析：对比排列和组合的定义，同样是从个不同的元素中取出个元素，而排列是把取出的个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的个元素并成一组，与元素的顺序无关。
组合数。同样地类似于排列，我们研究从个不同的元素中取出个元素的组合共有多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为。
问题2】从3个不同的元素中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素中每次取出2个，共有多少种不同的组合？）
解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为，对应的排列为：
变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为，对应的组合为：
总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。
通过例题讲解区分排列与组合问题。
例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？
1) 从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
2) 从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？
解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为（先标记在后面，一会再求解）。
(2)选出的2个风景点，必须明确游览顺序，这是一个排列问题，对应的排列数为（学生求解排列数，复习巩固上节课排列数的计算公式）。
课堂练习：书55页课后练习题3
1)8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？
解：与顺序无关，因此是组合问题，组合数为（先标记在后面，一会再求解）。
2)6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张？
解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样，因此有顺序性，是排列问题，排列数为（学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）
3)某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？
解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列问题，排列数为（学生求解）；
第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的，没有顺序性，是组合问题，组合数为（标记在后面，一会再求解）。
4)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段(有向线段)共有多少条？
解：线段ab与线段ba为两条相同的线段，因此没有顺序性，是组合问题，组合数为（标记在后面，一会再求解）；
有向线段（有方向的线段，即：有向线段ab与有向线段ba是两条不同的线段），因此有顺序性，是排列问题，排列数为（学生计算）。
组合数计算公式。
思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？
回到问题2，从三个不同的元素中每次取出2个的排列与组合的关系如图：
从图中关系可以看出组合共有个；
将每一个组合中的元素进行全排列，均有个排列；
因此，从3个不同的元素中取出2个元素的排列数，可以分成以下两个步骤来完成：
第一步：从3个不同的元素中取出2个元素的组合数为；
第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列，其排列数为。
根据分步乘法原理，得。
从而有。从特殊回到一般）一般地，从个不同的元素中取出个不同元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成，即。
由此得到组合数计算公式：
由于，所以组合数公式还可以表示为。
其中，，）由于计算需要，规定
例2】计算。
解：由组合公式得。
课堂练习。通过组合公式的推导及例题2的讲解，请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解（并请4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）
习题讲解，提出计算组合数需要注意3点：
1、 公式不要列错；
2、 项不要列错；
3、 计算不要马虎。
例3】一批产品20件，其中有2件次品，其余均为**，从20件产品中任意抽取3件进行检验，问：
分析：通过画图进行图形结合法，如图。
1)共有多少种不同的抽法？
分析：从20件产品中任意抽取3件，没有特殊要求，因此不用考虑特殊情况，不同的抽法等于组合数。
解： 2)恰有一件次品的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成：
第一步：从2件次品中任意抽取1件，有种不同的抽法；
第二步：从18件**中任意抽取2件，有种不同的抽法。
根据分步乘法原理，所有的抽法种数为。
解： 3)全是**的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品全是**，即从18件**中任意抽取3件，不同的抽法为。
解： 4)至多有一件次品的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？（解释至多的概念，并与学生一起分析包含几类情况）
第一类：3件产品中没有次品，即从18件**中任意抽取3件，不同的抽法为。
第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不同的抽法有。
根据分类加法原理，不同的抽法总数为。
解： 5)至少有一件次品的不同抽法有多少种？
分析：抽取的3件产品中至少有一件次品，包含几类情况？（解释至少的概念，并与学生一起分析包含几类情况）
第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不同的抽法有；
第二类：3件产品中有两件次品，分两步来完成，不同的抽法有（请同学思考，借鉴第二题给出）
根据分类加法原理，所有的抽法总数为。
解： 三、课堂小结：
1、组合的概念；
2、组合数的概念；
3、组合数的计算公式；
4、区分排列问题与组合问题；
5、根据组合公式求解组合应用题。
四、课后作业。
书58页练习；书60页习题a组2
驻马店市2024年度优质课教学设计。
学科：数学。
课题：组合（第一课时）
单位：汝南高中。
姓名：高永献。
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