直线与圆的位置关系的押轴题解析汇编二。
直线与圆的位置关系。
一、选择题。
1．（2011湖北随州，13，3分）如图，ab为⊙o的直径，pd切⊙o于点c，交ab的延长线于d，且co=cd，则∠pca=（
a．30° b．45° c．60° d．67.5°
答案】d思路分析】如图：∵pd切⊙o于点c，∴oc⊥pd，又∵oc=cd，∴∠cod=45°，连接ac，∵ao=co，∴∠aco=22.5°，∴pca=90°-22.
5°=67.5°．故选d．
答案】d点评】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到oc⊥pd，然后进行计算求出∠pca的度数．
1. （2011台北16）如图(六)，为圆o的直径，直线ed为圆o的切线，a、c两点在。
圆上，平分∠bad且交于f点。若∠ade＝，则∠afb的度数为何？
a) 97b) 104
c) 116
d) 142
分析】：利用弦切角定理可得∠abd=∠ade，bd是圆的直径，所以∠bad=，∠baf=，利用内角和定理可得∠afb值。
答案】：c点评】：本题考查了三角形内角和定理、直径所对的圆周角等于直角、弦切角等知识点。
难度中等。3. （2011台湾32）图(十四)中，、分别切圆o1于a、d两点，、分别切。
圆o2于b、e两点。若∠1=60，∠2=65，判断、、的长度，下列关系何者正确？
a)＞＞b)＝＞
c)＞＞d)＝＝
分析】：∵1=60，∠2=65，∴∠abc= ∴ab>bc>ac 由切线长定理可知 ac=cd bc=ce
答案】：a点评】：本题考察了三角形内角和定理、切线长定理，大边对大角。难度中等。
4. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，ab为⊙o的直径，pd切⊙o于点c，交ab的延长线于d，且co=cd，则∠pca=（
a．30° b．45° c．60° d．67.5°
解题思路】pd切⊙o于点c，交ab的延长线于d，且co=cd得∠cod=45°、∠pco=90°。再由oa=oc，及外角知识得∠aco=22.5°；又∠pca+∠aco=90°，所以∠pca=90°-∠aco=67.
5°。另外也可考虑直径条件连结bc求解。
答案】d点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。难度较小。
1. （2011江苏南京，2分）如图，在平面直角坐标系中，⊙p的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙p的弦ab的长为，则a的值是。
a． b． c． d．
解题思路】由图形易知半径为2，再根据垂径定理可求出a.
答案】b点评】本题在直角坐标系中考查了直线和圆的位置关系及圆的有关性质，是一道好题。
11．（2011四川眉山，11，3分）如图，pa、pb是⊙o的切线，ac是⊙o的直径，∠p=50°，则∠boc的度数为。
a．50b．25°
c．40d．60°
解题思路】由pa、pb是⊙o的切线，根据切线的性质得到∠oap=∠obp=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠aob，而ac是⊙o的直径，根据互补即可得到∠boc的度数．
答案】∵pa、pb是⊙o的切线，∠oap=∠obp=90°，而∠p=50°，∠aob=360°-90°-90°-50°=130°，又∵ac是⊙o的直径，∠boc=180°-130°=50°．
故选a点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为360°．难度中等．
2. （2011甘肃兰州，3，4分）如图，ab是⊙o的直径，点d在ab的延长线上，dc切⊙o于点c，若∠a=25°，则∠d等于（ ）
a. 20° b. 30° c. 40° d. 50°
解题思路】连结oc，因为∠a=25°则∠doc=2∠a =50°，又因为dc切⊙o于点c，知∠dco=90°，所以∠d=90°-50°=40°，故选项c正确，其余选项不正确。
答案】c．点评】本题考查了圆的切线的性质，解此类问题常见辅助线的作法是作过切点的半径．难度较小．
二、填空题。
2023年江苏省宿迁市，17，3）如图，从⊙o外一点a引圆的切线ab，切点为b，连接ao并延长交圆于点c，连接bc．若∠a＝26°，则∠acb的度数为 ▲
解题思路】连接ob，因为ab是⊙o的切线，点b是切点，所以∠abo＝90°．∠a＝26°，所以∠aob＝64°．因为ob=oc，所以∠ocb＝∠obc＝∠aob＝32°，即∠acb＝32°．
答案】32°．
点评】本题主要考查了圆的切线的性质和三角形的角的有关计算．解答此类几何知识的综合运用问题，要熟练掌握几何知识．难度中等偏上．
2011 江苏苏州，16，3分）如图，已知ab是⊙o的一条直径，延长ab至c点，使得ac=3bc，cd与⊙o相切，切点为d，若cd=，则线段bc的长度等于。
解题思路】连接od,设圆的半径为r, 因为cd与⊙o相切， ac=3bc，根据三角形知识解得答案。
答案】1．点评】这是圆与三角形相结合的题目，理清它们之间的关系是解题的关键。
1. （2011贵州毕节，20,3分）如图，已知pa、pb分别切⊙o于点a、b，点c在⊙o上，∠bca＝，则∠p
解题思路】连结oa、ob, pa、pb是⊙o的切线，∠oap=∠obp=,则∠p=,∠bca＝, 所以。
答案】点评】本题考查了圆的切线的性质和圆周角与圆心角关系等知识点，通过连结过切点的半径，建起圆周角与圆心角联系的桥梁，从而达到解题的目的。难度中等。
3. （2011广东省，9，3分）如图，ab与⊙o相切于点b，ao的延长线交⊙o于点c．若∠a=40，则∠c=__
解题思路】连接ob，由ab与⊙o相切知：ob⊥ab，所以∠aob=90-∠a=50，再根据圆半径相等可得∠c=∠obc，利用外角性质得：∠aob=∠obc+∠c，即∠c=25.
答案】25点评】过切点连半径是在直线与圆相切中常见的辅助线．通过作出辅助线，构造直角三角形，从而解决问题．难度中等。
1.（2011湖南长沙，18，3分）如图，p是⊙o的直径ab延长线上的一点，pc与⊙o相切于点c，若∠p=20°，则∠a=__
解题思路】根据圆的切线性质可知，pc⊥oc，于是由直角三角形两锐角互余，∠coa=90°-20°=70°.因为△aoc为等腰三角形，据三角形外角可求出∠a=35°.
答案】35°
点评】本题涉及到圆的切线性质，三角形内角和与外角等知识考查。本题运用圆的切线性质是关键，圆的切线是圆的重点内容之一，也是中考考点内容之一，该题难度较小。
2. （2011湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为cd、ce的两个半圆相切于点c，大半圆m的弦ab与小半圆n相切于点f，且ab∥cd，ab=4，设、的长分别为x、y，线段ed的长为z，则z（x+y）的值为___
解题思路】联系课本中的解题思路，可过点m作mq⊥ab于点q,则有22+()2=()2,即x+y=,而z=ed=-=所以z（x+y）的值为·=8.
答案】8π点评】本题以课本原题为母题进行变式，巧妙地考查了垂径定理，勾股定理和圆的周长公式等．其中，恒等变形是解题的关键。难度较小．
13．（2023年四川省南充市，13，3分）如图，pa,pb是⊙o是切线，a,b为切点， ac是⊙o的直径，若∠bac=250，则∠p度。
解题思路】连结op，由切线长定理，切线性质，及三角形性质可得：
答案】50点评】利用切线的性质时，常连结圆心与切点。从圆外一点引圆的两条切线时应考虑到圆切线长定理。
10．（2023年河南，10，3）如图，cb切⊙o于点b，ca交⊙o于点d且ab为⊙o的直径，点e是。
上异于点a、d的一点．若∠c＝40°，则∠e的度数为 .
【解题思路】连接bd，则∠adb＝90°，∠abd＝∠e.因为cb切⊙o于点b，所以∠abc=90°.因为∠c＝40°，所以∠bac＝50°.所以∠abd＝∠e＝40°．
答案】40点评】本题考查了圆周角性质：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90°以及切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
三、解答题。
2011江苏盐城，25，10分）如图，在△abc中，∠c= 90°，以ab上一点o为圆心，oa长为半径的圆与bc相切于点d，分别交ac、ab于点e、f．
1）若ac=6，ab= 10，求⊙o的半径；
2）连接oe、ed、df、ef．若四边形bdef是平行四边形，试判断四边形ofde的形状，并说明理由．
解题思路】第（1）题连结od，证△obd∽△abc，根据对应线段成比例列出方程即可求解；第（2）题先证四边形ofde是平行四边形，在利用邻边相等可知其为菱形。证其为平行四边形时可以利用“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半”得∠ode=∠dob=60°，可得△ode是等边三角形，所以de=of，所以四边形ofde是平行四边形．也可证rt△aef≌rt△odb，所以ed=fb= of，所以四边形ofde是平行四边形．难度中等．
答案】解：（1）连接od. 设⊙o的半径为r.
bc切⊙o于点d，∴od⊥bc.
∠c=90°，∴od∥ac，∴△obd∽△abc.
=，即=. 解得r =，o的半径为。
2）四边形ofde是菱形。
四边形bdef是平行四边形，∴∠def=∠b.
∠def=∠dob，∴∠b=∠dob.
∠odb=90°，∴dob+∠b=90°，∴dob=60°.
de∥ab，∴∠ode=60°.∵od=oe，∴△ode是等边三角形。
od=de.∵od=of，∴de=of.∴四边形ofde是平行四边形。
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