例1 设函数y=f(x) (x∈r,且≠0)对任意非零实数x1,x2,满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
1) 求证:f(1)=f(-1)=0.
2) 求证:y=f(x)为偶函数。
3) 已知y=f(x)为(0,+∞上的增函数,解不等式f(x)+.
例2 f(x)为定义在r上的不恒等于0的函数, =0,且对任意x,y∈r,恒有。
f(x)+f(y)=2f
证明:(1)f(x+2)=f(x);
2)f(-x)=f(x);
3)f(2x)=2[f(x)]2-1.
例 3 设f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格递增函数,f(2)=2,当m,n互素时。
f(mn)=f(m)f(n).
证明:对一切正整数n,f(n)=n.
例4 设函数f(x)是奇函数,对任意x,y∈r,都有。
f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)= 2.求f(x)在x∈[-3,3]上的最大值和最小值。
例5 设f(n)是定义在n上取非负整数值的函数,且对所有的m,n∈n,有。
f(m+n) -f(m) -f(n)=0 或1
以及f(2)=0, f(3)>0, f(6000)=2000. 求f(5961).
例6 函数f定义在正整数有序对的集合上,并满足。
f(x,x)=x, f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)
计算f(14,52).
例7 函数f(x)在x=0处没有意义,但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x,求方程f(x)=f(-x)的实根。
例8 设f(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数,且。
f(x)+f=1+x
求f(x).
例9 试求定义在自然数集上的函数f(x),使f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, f(1)=1.
例10 设n次多项式函数满足,求f(n+1).
练习:i. 选择题。
1)下面列举的四个函数中,满足的函数f是( )
a. b. c. d.
2)已知函数f(x)对任意正数x,y恒有f(x·y)=f(x)+f(y),下列式子中错误的是( )
a. f(1)=0b. f(x)=0 (x>0)
c. f(x3)=3f(x)(x>0) d.
3) 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y) -xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n (n≠1)的整数n共有( )个。
a. 0b. 1c. 2d. 3
ii. 填空题。
1) 若f(a+b)=f(a)·f(b), 且f(1)=1,的值等于。
2) 对任意正整数k,设f1(k)表示k的各位数字和的平方,对n≥2,令fn(k)=f1(fn-1(k)),则f1988(11
3) 若f(3x+1)=x2+e2x,则f(x
4) 函数f(n)对一切自然数n都有定义,且满足f(n)=f(n-1)+an,f(1)=1,则f(n
5) 设f(x)为二次函数,已知g(x)=2xf(x),和g(x+1) -g(x)=2x+1·x2,则g(x
6) 适合条件x2f(x)+f(1-x)=2x-x4的多项式f(x
iii. 解答题。
1) 设多项式函数f(x), g(x)满足f2(x)=xg2(x),则f(x)与g(x)都是零次多项式。
2) 设函数满足下列条件:① 对任意实数x,均有f(x)>2;②对任意实数x1,x2,均有f(x1+x2)(3) 设函数y=f(x)定义在r上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n∈r有f(m+n)=f(m)f(n), 当m≠n时,f(m)≠f(n).
证明:f(0)=1.
证明:f(x)为r上的增函数。
设a={(x,y)|f(x2)f(y2)(4)将正整数n的所有约数之和用f(n)表示(例如f(4)=1+2+4=( 求证:如果m,n互质,则有f(mn)=f(m)·f(n).
5)设q是全体有理数的集合,求适合下列两个条件的从q到q的所有函数:
1) f(1)=2;
2) 对q中所有的x和y,f(xy)=f(x)f(y) -f(x+y)+1.
高一数学竞赛辅导 一
例1 设集合m 2,3 x 判断x是否为集合m的元素。例2 设m 求证 1 一切奇数属于m 2 偶数4k 2 k z 不属于m 3 属于m的两个整数,其积仍属于m。例3 判断下面命题是否正确 设a b是坐标平面上的两个点集,cr 若对任何r 0都有,则必有ab.例4 设集合m n 求证 m n.例5...
高一数学竞赛辅导 二
例 1 已知函数y f x 的定义域是 0,1 求函数 f x a f x a 的定义域。在中,令 x a,可以看成两个复合函数 f f 的代数和。例2 已知对一切实数x,有f x2 1 x4 5x2 3 成立,求f x2 1 例3 已知f x 是x的n n 0 次多项式,且对任意的实数x,满足。求...
高一数学竞赛辅导 四
例1 证明函数f x 的图象关于原点对称。例2 证明,任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。如能找到一种具体的表示方法,则命题成立。例3 函数f x 定义在实数集上,且对一切实数x满足等式f x 2 f 2 x 和f 7 x f 7 x 设f x 0的一个根是x 0.记...