高一数学竞赛辅导 七

发布 2023-05-17 10:58:28 阅读 2417

例1 设函数y=f(x) (x∈r,且≠0)对任意非零实数x1,x2,满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2).

1) 求证:f(1)=f(-1)=0.

2) 求证:y=f(x)为偶函数。

3) 已知y=f(x)为(0,+∞上的增函数,解不等式f(x)+.

例2 f(x)为定义在r上的不恒等于0的函数, =0,且对任意x,y∈r,恒有。

f(x)+f(y)=2f

证明:(1)f(x+2)=f(x);

2)f(-x)=f(x);

3)f(2x)=2[f(x)]2-1.

例 3 设f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格递增函数,f(2)=2,当m,n互素时。

f(mn)=f(m)f(n).

证明:对一切正整数n,f(n)=n.

例4 设函数f(x)是奇函数,对任意x,y∈r,都有。

f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时f(x)<0,f(1)= 2.求f(x)在x∈[-3,3]上的最大值和最小值。

例5 设f(n)是定义在n上取非负整数值的函数,且对所有的m,n∈n,有。

f(m+n) -f(m) -f(n)=0 或1

以及f(2)=0, f(3)>0, f(6000)=2000. 求f(5961).

例6 函数f定义在正整数有序对的集合上,并满足。

f(x,x)=x, f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)

计算f(14,52).

例7 函数f(x)在x=0处没有意义,但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x,求方程f(x)=f(-x)的实根。

例8 设f(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数,且。

f(x)+f=1+x

求f(x).

例9 试求定义在自然数集上的函数f(x),使f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, f(1)=1.

例10 设n次多项式函数满足,求f(n+1).

练习:i. 选择题。

1)下面列举的四个函数中,满足的函数f是( )

a. b. c. d.

2)已知函数f(x)对任意正数x,y恒有f(x·y)=f(x)+f(y),下列式子中错误的是( )

a. f(1)=0b. f(x)=0 (x>0)

c. f(x3)=3f(x)(x>0) d.

3) 对于每一对实数x,y,函数f满足f(x)+f(y)=f(x+y) -xy-1,若f(1)=1,那么使f(n)=n (n≠1)的整数n共有( )个。

a. 0b. 1c. 2d. 3

ii. 填空题。

1) 若f(a+b)=f(a)·f(b), 且f(1)=1,的值等于。

2) 对任意正整数k,设f1(k)表示k的各位数字和的平方,对n≥2,令fn(k)=f1(fn-1(k)),则f1988(11

3) 若f(3x+1)=x2+e2x,则f(x

4) 函数f(n)对一切自然数n都有定义,且满足f(n)=f(n-1)+an,f(1)=1,则f(n

5) 设f(x)为二次函数,已知g(x)=2xf(x),和g(x+1) -g(x)=2x+1·x2,则g(x

6) 适合条件x2f(x)+f(1-x)=2x-x4的多项式f(x

iii. 解答题。

1) 设多项式函数f(x), g(x)满足f2(x)=xg2(x),则f(x)与g(x)都是零次多项式。

2) 设函数满足下列条件:① 对任意实数x,均有f(x)>2;②对任意实数x1,x2,均有f(x1+x2)(3) 设函数y=f(x)定义在r上,当x>0时,f(x)>1,且对任意m,n∈r有f(m+n)=f(m)f(n), 当m≠n时,f(m)≠f(n).

证明:f(0)=1.

证明:f(x)为r上的增函数。

设a={(x,y)|f(x2)f(y2)(4)将正整数n的所有约数之和用f(n)表示(例如f(4)=1+2+4=( 求证:如果m,n互质,则有f(mn)=f(m)·f(n).

5)设q是全体有理数的集合,求适合下列两个条件的从q到q的所有函数:

1) f(1)=2;

2) 对q中所有的x和y,f(xy)=f(x)f(y) -f(x+y)+1.

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