高一数学竞赛辅导 二

例 1 已知函数y=f(x)的定义域是[0,1], 求函数=f(x+a)+f(x-a)的定义域。

(在中，令=x+a,可以看成两个复合函数 f(),f()的代数和。

例2 已知对一切实数x，有f(x2+1)=x4+5x2+3 成立，求f(x2-1).

例3 已知f(x)是x的n(n>0)次多项式，且对任意的实数x，满足。

求f(x).

例4 已知函数对n∈n，定义fn+1(x)=f1(fn(x)).设f35(x)=f5(x), 求f28(x).

例5 设a>1,x∈n, 求证 ax+1>(a-1)x(x+a).

例6 m是实数集r的任一子集合，函数fm(x)在实数集r上定义如下。

求证：对任意以实数为元素的集合a，b，若a∩b不是空集，则总有

fa∩b(x)=fa(x)·fb(x).

例7 作出函数y=|x|(x-[x])在[-1,l]上的图象。

例8 已知x,y满足方程组。

求x+y的取值范围。

例9 设= x – x],1) 找出一个实数x，满足+{}1;

2) 证明：满足(1)中等式的x都不是有理数。

例10. 设f(x)=，求。

例11 函数f(x)定义在整数集上， 且满足。

f(n)=

求 f(100)的值。

例 12 设p=，在p上定义函数f如下：

若n∈p, f(n)表示不是n的约数的最小自然数，例如f(7)=2, f(12)=5,等等。现记f(n)的值域为集合m.

求证：19∈m，88m.

习题：一、 选择题。

1. 已知f(xn)=lnx, 那么f(z)的值等于( )

a. ln2 b. ln2 c. n ln2 d. 2nln2

2. 设f1(x)=,对n∈n, 定义fn+1(x)=f1(fn(x)).则f1986(x)的解析式为( )

a. f1986(x)= b. f1986(x)=

c. f1986(x)= d. f1986(x)=

3. 已知函数 y=f(x)的反函数是f –1(x)=,g(x)=ba+a, 则 y=f(x)及y=g(x) 的图象只可能是( )

4. 满足f(x2)=[f(x)]2=f(f(x)),且次数不小于1的多项式f(x)有( )

a. 0个b. 1个c. 2个d. 无限多个。

5. 已知f(x)=,则和。

a. 10000 b. 5000 c. 1000 d. 100

二、填空。1. 已知函数f(x)的定义域是[a,b], 且b>-a>0, 则函数的定义域是___

2. 设函数f0(x)=|x|, f1(x)=|f0(x)-1|, f2(x)=|f1(x) -2|，则函数y=f2(x)的图象与x轴所围成的图形中的封闭部分的面积是___

3. 已知函数f定义在正整数集合上，满足。

则f(1989)的值等于。

4. 已知f(x)=ax+b(a≠b),g(x)= c≠0), 且f(g(x))=g(f(x))=则abcd

5. 用[y] 表示不超过实数y的最大整数。当n∈n时，[log2(n+1 -的值的集合是。

三、问答题。

1. 已知f(x)= 1)求k；(2)若f(f(1))=求a,b的值。

2. 解方程x3 – x] –6 =0, 其中[x]表示不大于x的最大整数。

3. 函数f(x)在[0,1]上有定义，f(0)=f(1). 如果对任意不同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x2)-f(x1)|

求证：|f(x2)-f(x1)|<

4. 试证不存在满足下列条件的二次多项式f(x)

1) 当 –1 ≤x≤1时，|f(x)|≤1;

2) |f(2)|＞8.

5. 已知f(x)是一次函数，且。

求f(x)的解析式。

6. 已知a=，且。

1) 对于f, g∈a,有g(f(x))∈a;

2) 当f∈a时，有f –1 ∈a, 其中f –1(x)=;

3) 对于每一个f∈a，存在一个不动点xi，使f(xi)=xi.

求证：对于所有的f∈a，必存在公共的不动点x0,即有f(x0)=x0.

高一数学竞赛辅导 一

例1 设集合m 2,3 x 判断x是否为集合m的元素。例2 设m 求证 1 一切奇数属于m 2 偶数4k 2 k z 不属于m 3 属于m的两个整数，其积仍属于m。例3 判断下面命题是否正确 设a b是坐标平面上的两个点集，cr 若对任何r 0都有，则必有ab.例4 设集合m n 求证 m n.例5...

高一数学竞赛辅导 四

例1 证明函数f x 的图象关于原点对称。例2 证明，任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。如能找到一种具体的表示方法，则命题成立。例3 函数f x 定义在实数集上，且对一切实数x满足等式f x 2 f 2 x 和f 7 x f 7 x 设f x 0的一个根是x 0.记...

高一数学竞赛辅导 七

例1 设函数y f x x r，且 0 对任意非零实数x1,x2,满足f x1x2 f x1 f x2 1 求证 f 1 f 1 0.2 求证 y f x 为偶函数。3 已知y f x 为 0,上的增函数，解不等式f x 例2 f x 为定义在r上的不恒等于0的函数，0,且对任意x,y r，恒有。f...