xxxxxxxx学校xxxx年学年度第二学期第二次月考。
xxx年级xx班级。
姓名班级考号。
一、计算题。
每空？ 分，共？ 分）
1、若。且。
1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）
2）设为两实数，且若。
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）
2、已知函数f(x)（x∈r）满足下列条件：对任意的实数x1、x2都有≤[f(x1)f(x2)]和|f(x1) f(x2)|≤x1－x2|，其中是大于0的常数，设实数a0，a，b满足f(a0)=0，b=af(a).
（1）证明≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0
（2）证明（ba0）2≤(12)(aa0)2
（3）证明[f(b)]2≤(1) [f(a)]2
3、已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底。
ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；
ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；
ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底。
二、选择题。
每空？ 分，共？ 分）
4、已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在r上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
a）（0，] b）[，
c）[，d）[，
5、设，若，则的最大值为（ ）
a.2 b. c. 1 d.
6、设，已知函数的定义域是，值域是，若函数g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零点，则（ ）
a．2 b． c．1 d．0
三、综合题。
每空？ 分，共？ 分）
7、已知，函数。
1）当时，解不等式；
2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围。
8、函数的定义域为a，函数。
1）若时，的解集为b，求；
2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。
9、如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”．
1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”求出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由．
2）已知具有“性质”，且当时，求在上的最大值．
3）设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个数为2013个，求的值．
10、（本小题满分14分）已知函数。
ⅰ）求函数的定义域，并证明在定义域上是奇函数；
ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
ⅲ）当时，试比较与的大小关系．
11、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数。例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围
四、简答题。
每空？ 分，共？ 分）
12、已知函数满足：对任意实数，当时，总有，则实数的取值范围是．
五、填空题。
每空？ 分，共？ 分）
13、是正实数，设，若对每个实数a ，∩的元素不超过２个，且有a使∩含有２个元素，则的取值范围是。
14、设函数的最大值为，最小值为，那么 ▲
六、未分类。
每空？ 分，共？ 分）
15、已知a＞0，b∈r，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b，x∈[0，1]．
ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值；
ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a﹣b|+a；
ⅲ）证明：f（x）+|2a﹣b|+a≥0．
16、已知θ∈（若存在实数x，y同时满足=，+则tanθ的值为 ．
17、已知函数f（x）=sin+e﹣|x﹣1|，有下列四个结论：
图象关于直线x=1对称；
f（x）的最大值是2；
f（x）的最大值是﹣1，；
f（x）在区间[﹣2015，2015]上有2015个零点．
其中正确的结论是 （写出所有正确的结论序号）．
参***。一、计算题。
1、解：（ⅰ恒成立。
因为。所以，故只需（*）恒成立。
综上所述，对所有实数成立的充要条件是：
ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线对称．
因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。
2°如果。1）当时。，当，因为，所以，故=
当，因为，所以。
故=因为，所以，所以即。
当时，令，则，所以，当时，，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和。
2）当时。，当，因为，所以，故=
当，因为，所以。
故=因为，所以，所以。
当时，令，则，所以，当时， ，所以=
时，，所以=
在区间上的单调增区间的长度和。
综上得在区间上的单调增区间的长度和为。
2、证明：（1）任取。则由①和②
可知。从而。
假设有①式知。
矛盾。不存在使。
2）由可知。
由①式得 ⑤
由②式得⑥将⑤⑥代入④得。
3）由③式知。
用②式）用①式）
3、解：（ⅰ不是的一个二元基底。
理由是 ；②是的一个二元基底。
理由是 ，.21世纪教育网。
3分。ⅱ）不妨设，则。
形如的正整数共有个；
形如的正整数共有个；
形如的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个。
又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底。
故，即8分。
ⅲ）由（ⅱ）可知，所以。
当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个。 *
假设为的一个4元基底，不妨设，则。
当时，有，这时或。
如果，则由，与结论*矛盾。
如果，则或。易知和都不是的4元基底，矛盾。
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾。
当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾。
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾。
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾。
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾。
当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾。
当时，均不可能是的4元基底。
当时，的一个基底；或；或等，只要写出一个即可。
综上，的最小可能值为514分
二、选择题。
4、c 5、c
6、c 三、综合题。
7、（1）由，得，解得． …4分。
2），当时，，经检验，满足题意．
当时，，经检验，满足题意．
当且时，，，
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即．
于是满足题意的．
综上，的取值范围为． …8分。
3）当时，所以在上单调递减．
函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．…12分。
8、解：（1）由，解得：或，则，…2分。
若，，由，解得：，则 …4分。
所以； …6分。
2）存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，所以 …10分。
因为，当且仅当，即时取得等号。
所以，解得：． 14分。
9、解：（1）由得，根据诱导公式得．具有“性质”，其中．
………4分。
3）具有“性质”，从而得到是以2为周期的函数．
又设，则，再设（），当（），则，当（），则，；
对于，（）都有，而，，是周期为1的函数．
10、解：（ⅰ由，解得或， 函数的定义域为
当时，[来。
在定义域上是奇函数。 …4分。
ⅱ）由时，恒成立，
在成立 令，，由二次函数的性质可知。
时函数单调递增，时函数单调递减，时， …8分。
证法一：设函数，则时，，即在上递减，所以，故在成立，则当时，成立。 …14分。
证法二：构造函数，
当时，，∴在单调递减，……12分。
当（）时， …14分。
四、简答题。
五、填空题。
六、未分类。
15、【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．
分析】（ⅰ求出当a=b=2时，f（x）的解析式，求出对称轴，求得端点的函数值，可得f（x）的最大值；
ⅱ）求出对称轴，讨论区间和对称轴的关系，结合单调性，可得最大值；
ⅲ）要证f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，只需证f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，设f（x）的最小值为m，最大值为m，由（ⅱ）得m=|2a﹣b|+a，求出对称轴，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，可得最值，即可证明m+m＞0．
解答】解：（ⅰ当a=b=2时，f（x）=8x2﹣4x，x∈[0，1]．
对称轴为x=，f（0）=0，f（1）=4，可得f（x）的最大值为4；
ⅱ）证明：f（x）的对称轴为x=，当＞1时，区间[0，1]为减区间，可得f（x）的最大值为f（0）=b﹣a，由b＞4a＞2a，可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a，则f（0）=|2a﹣b|+a；
当＜0时，区间[0，1]为增区间，可得最大值为f（1）=3a﹣b，由b＜0，可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f（1）；
当0≤≤1时，区间[0，]为减区间，[，1]为增区间，若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值为f（1）=3a﹣b=|2a﹣b|+a；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值为f（0）=b﹣a=|2a﹣b|+a．
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