高一数学竞赛试卷(满分150分)
一。 选择题： (每题5分共60分)
1. 若执行如图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则输出的数等于( )
a．1 bcd. [3
2.若，那么的值为( )
a.0 bc.-1d.
3. 从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是( )
a. bcd.
4. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两。
个事件是。a．恰有1名男生与恰有2名女生 b．至少有1名男生与全是男生
c．至少有1名男生与至少有1名女生 d．至少有1名男生与全是女生。
5.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）个长度单位。
a．向左平移 b．向右平移 c．向左平移 d．向右平移。
6. 若则的定义域为( )
abcd.
7. 对任意实数，定义运算“*”如下： 的值域为。
a． b． cd．
8. 两圆相交于点a（1，3）、b（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为。
a．－1 b．2 c．3 d．0
9. 函数在区间内的图象是
**：10.设，则( )
a．0 b．1 c． d．
11. 已知圆c：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.则圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率为( )
abc. d．
12.平面内称横坐标为整数的点为“次整点”。过函数图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于的直线条数为（ ）
a．10b．11c．12 d．13
二。 填空题(每题4分共16分)
13. m是圆上一动点，n(3,0)，则线段mn中点的轨迹方程是___
14.已知圆和圆都与两坐标轴相切，且都经过(4,1)点，则。
15.已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是。
16.已知，，若，则的取值范围是。
三。 解答题(共74分)
17.(本小题满分12分) 袋中有大小、形状相同的红、白球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球。
（1）求三次颜色全相同的概率；
（2）若摸到红球时得2分，摸到白球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5的概率。[来。
18. (本小题满分12分) 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组；第二组，……第五组．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为。
良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（2）设、表示该班某两位同学的百米。
测试成绩，且已知，求事件“”的概率。
19. (本小题满分12分)已知函数。
1)当时，求函数的值域。
2)当时，用五点法作出的图像。
3)若已知且求的值。
20. (本小题满分12分)已知为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为。
1）求的值；
2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间。
21. (本小题满分12分)已知圆c过点，且与圆m:关于直线对称。
1)判断圆c与圆m的位置关系，并说明理由；
2)过点作两条相异直线分别与圆相交于。若直线和直线互相垂直，求的最小值。
22. (本小题满分14分)
如图，已知圆o：和定点a(2,1)，由圆o外一点向圆o引切线pq，切点为q，且满足．
1) 求实数a、b间满足的等量关系；
2) 求线段pq长的最小值；
3) 若以p为圆心所作的圆p与圆o有公共点，试求半径取最小值时圆p的方程．
17.解：（1）一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、红、红、白）、（红、白、红）、（红、白、白）、（白、红、红）、
白、红、白）、(白、白、红)、（白、白、白3分。
记“三次颜色全相同”为事件a，则事件a包含的基本事件为。
红、红、红、）、白、白、白）……5分，即a包含的基本事件数为2，基本事件总数为8，事件a的概率为………6分。
2) 记“三次摸球所得总分不少于5”为事件b,事件b包含的基本事件为：
红、红、白）、（红、白、红）、（白、红、红）、（红、红、红、）共4种，……10分。
事件b的概率为………12分。
18.解：（1）由直方图知，成绩在内的人数为：（人）
所以该班成绩良好的人数为27人2分。
（2）由直方图知，成绩在的人数为人，设为、、；
成绩在的人数为人，设为、、、
若时，有 3种情况；
若时，有 6种情况6分。
若分别在和内时，共有12种情况10分。
所以基本事件总数为21种，事件“”所包含的基本事件个数有12种。
p12分 22 解：（1）连为切点，，由勾股定理有。
又由已知，故。
即：.…2分。
化简得实数a、b间满足的等量关系为：
4分。2）由，得。
6分。故当时，即线段pq长的最小值为8分。
解法2：由(1)知，点p在直线l：2x + y－3 = 0 上。
| pq |min = pa |min ，即求点a 到直线 l 的距离。
| pq |min
3）设圆p 的半径为，圆p与圆o有公共点，圆o的半径为1，即且10分。
而12分。故当时，此时，，.
得半径取最小值时圆p的方程为． …14分。
解法2： 圆p与圆o有公共点，圆p半径最小时为与圆o外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心o到直线l的距离减去1，圆心p为过原点与l垂直的直线l’ 与l的交点p0.
r =－1 =－1.
又 l’：x－2y = 0,解方程组，得。即p0(,)
所求圆方程为。
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