[高一数学精品教案-1]
对数函数。一、知识点提要。
1） 函数叫对数函数，其定义域为（0，+∞值域是r．
2） 结合图象，熟练掌握对数函数的性质．
（3）熟记以及的图象及相互关系，并通过图象掌握对数的单调性，注意底对图象的影响．
（4）比较两对数值的大小时，应根据对数函数的单调性，对照对数函数的图象进行判断．
二、重点难点突破。
（1）对数函数与指数函数互为反函数，学习时要互相对照、互相比较，以加深理解．
（2）记忆对数函数的图象的性质时，应分a＞1和0＜a＜1两种情况．
（3）注意分界点（1，0），它决定函数值的正负．
三、热点考题导析。
例1．求函数的定义域．
解： 即 ∴函数的定义域为。
点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式．
例2．比较下列各组数的大小，并说明理由．
解：（1）是减函数，
（2）是增函数，
教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函。
数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三个数以上比较大小，0和1
是两把尺度。
例3．求函数定义域、值域、单调区间．
解：定义域为。
（x＞3或x＜2），由二次函数的图象可知（图象略）
0＜u＜+∞故原函数的值域为（-∞
原函数的单调性与u的单调性一致．∴原函数的单调增区间为（3，+∞单调减区间为（－∞2）．
学生演板：1）已知f（x）的图象g（x）=的图象关于直线y=x对称，求的单调减区间．（先求g（x）=的反函数。
单调减区间为（0，1]）
例4．设函数。
（1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明；
（2）若f（x）的反函数为，证明方程=0有唯一解．
分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断．（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数．
解：（1）由解得函数f（x）的定义域为（-1，1）．设则。又。
又（1+即。
故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数．
2）这里并不需要先求出f（x）的反函数，再解方程。
即是方程的一个解．
若方程还有另一解则又由反函数的定义知。
这与已知矛盾．
故方程有唯一解．
教师点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握．可先用数字试探。
一下，以便做到心中有数．（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反。
函数）（2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数。
定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我。
们甚至可以求解不等式；
请读者自己完成．
例5．若函数。
1）若函数的定义域为r，求a的取值范围．
2）若函数的值域为r，求a的取值范围．
3） 若函数在上是增函数，求a的取值范围．
解：（1）定义域为r，是指不等式的解集为r，即。
2）值域为r，是指能取遍（0，+∞中的所有的值．∴只需。
即或。3）在上为减函数且大于0，由图象可知：
教师点评：对数函数的定义域为r，即指不等式的解集为r．值域为r指对数函数的真数。
能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负。
数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值．要画个图仔细。
研究．在（3）中特别要注意在区间上函数大于0．
例6．已知函数
1）判断f（x）的奇偶性；
2）解关于x的方程。
3）解关于x的不等式：
解：（1）设则。
它的定义域为（-1，1）．
∴f（x）为奇函数．
（2）由f（x）=即得。
（3）由即得：
（a）当m＞1时，解得：
（b）当时， 解得：
由（a）、（b）知，当m＞1时，原不等式解集为。
教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式．要注意对底数m的讨。
论．四、课堂练习。
（1）求函数f（x）=的定义域。
定义域为。2）定义在全体实数上的奇函数要使求x的取值范围．
4） 若在区间[0，1]上是减函数，求a的取值范围．（（1，2））
五、高考试题。
1）（2023年上海，1）设函数，则满足的x值为 ．
答案：3分析：当时，值域为当时值域为（0，+∞
2）（2023年上海，4）设集合a=
则的元素个数为 ．
答案：1分析：集合a：
而x=5时，的元素个数为1．
3）（93年全国文，25）解方程：
答案： 分析：解得：
点评：本题主要考查对数方程的解法，属常规题，对等价转化思想有较高的要求．
六、考点检测。
1）若1＜x＜2，则下列不等式中正确的是（ ）
a）（b）（c）
d）2）函数的值域为（ ）
a） （b）rcd）
3）函数在上恒有|y|＞1，则a的取值范围是。
4）设a、b为正数，若有解，则的取值范围是 ．
5） 已知函数在有上意义，求实数c的取值范围．
6）设的反函数是（其中a＞0，且a≠1）
a）求，并求出它的定义域．
b）设若），求a的取值范围．
参***。1）b （2）a （3） （4）或（5） （6）（a）当a＞1时，当0＜a＜1时，
b）.江西省南昌市第二中学数学组孙庆宏。
高一数学教案 苏教版高一数学对数
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