课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算。
a 级。1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
a．2(x2－a2b．2(x2＋a2)
c．3(x2－a2) d．3(x2＋a2)
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
a．y＝2x＋1 b．y＝2x－1
c．y＝－2x－3 d．y＝－2x－2
3．(2012·豫东、豫北十所名校第三次测试)在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )
a．0 b．1
c．2 d．3
4．(2012·太原模拟)已知曲线y＝ln x在点p(1,0)处的切线为l，直线l′过点p且垂直于直线l，则直线l′与两坐标轴围成的三角形的面积是( )
a．4 b．2
c．1 d．
5．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为( )
a．x＋y－1＝0 b．x－y－1＝0
c．x＋y＋1＝0 d．x－y＋1＝0
6．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为___
7．(2012·柳州模拟)已知函数f(x)＝2xsin x，则当x＝时，其导函数的值为___
8．(2012·辽宁卷)已知p，q为抛物线x2＝2y上两点，点p，q的横坐标分别为4，－2，过p，q分别作抛物线的切线，两切线交于点a，则点a的纵坐标为___
9．(2012·宜昌模拟)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)等于___
10．求下列函数的导数：
1)y＝ex·ln x；(2)y＝x.
11．已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈r.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程，b 级。
1．(2012·郑州模拟)若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是( )
a．f＝f b．f>f
c．f2．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…fn(x)＝fn－1′(x)(n∈n*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 012
3．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点p(1，－2)，过点p作直线l.
1)求使直线l和y＝f(x)相切且以p为切点的直线方程；
2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于p的直线方程．
详解答案。课时作业(十三)
a 级。1．c f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
2．a 因为y′＝，所以，在点(－1，－1)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝＝2，所以，切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1，故选a.
3．a 依题意得，y′＝3x2－9，令0≤y′<1得3≤x2<，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y＝x3－9x的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选a.
4．d 由于f′(x)＝，故f′(1)＝1，则切线方程为y＝x－1，故直线l′方程为y＝－x＋1，其在x，y轴上的截距分别为1,1故直线与坐标轴所围成三角形面积s＝×1×1＝.
5．b f′(x)＝ln x＋1，x>0，设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x0ln x0，切线的斜率为ln x0＋1，所以ln x0＋1＝，解得x0＝1，y0＝0，所以直线l的方程为x－y－1＝0.
6．解析： ∵f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
答案： 7．解析： f′(x)＝2sin x＋2xcos x，f′＝2sin＋2··cos＝2.
答案： 28．解析： 因为y＝x2，所以y′＝x，易知p(4,8)，q(－2,2)，所以在p，q两点处切线的斜率的值为4或－2.
所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
答案： －4
9．解析： ∵f′(x)＝x2＋3f′(0)，f′(0)＝0＋3f′(0)，即f′(0)＝0，f′(x)＝x2，则有f′(1)＝1.
答案： 110．解析： (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·＝ex.
2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
11．解析： f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由已知得：
解得a＝e，x＝e2.
两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)＝，所以切线的方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.
b 级。1．c 依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，f′＝－sin＋2f′，f′＝，f′(x)＝－sin x＋1≥0，f(x)＝cos x＋x是r上的增函数，注意到－<，于是有f2．解析： f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，f1＋f2＋…＋f2 012＝f1＋f2＋f3＋f4＝0.
答案： 03．解析： (1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点p且以p(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，所求的直线方程为y＝－2.
2)设过p(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.
又直线过(x0，y0)，p(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×(－1)＝－y－(－2)＝－x－1)，即9x＋4y－1＝0.
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