课时作业(二十二) 正弦定理和余弦定理。
a 级。1．在△abc中，已知a＝，b＝2，b＝45°，则角a＝(
a．30°或150b．60°或120°
c．60° d．30°
2．在△abc中，a＋b＋10c＝2(sin a＋sin b＋10sin c)，a＝60°，则a＝(
a. b．2
c．4 d．不确定。
3．(2012·聊城模拟)在△abc中，内角a，b，c的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin c＝2sin b，则a＝(
a．30° b．60°
c．120° d．150°
4．(2012·山东威海一模)在△abc中，内角a，b，c对应的边分别是a，b，c.已知c＝2，c＝，s△abc＝，则△abc的周长为( )
a．6 b．5
c．4 d．4＋2
5．(2012·青岛模拟)在△abc中，a＝120°，b＝1，面积为，则＝(
a. b．c．2 d．4
6．(2012·陕西卷)在△abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，b＝，c＝2，则b
7．(2012·威海模拟)△abc的内角a、b、c的对边分别为a，b，c，若sin a，sin b，sin c成等比数列，且c＝2a，则cos b
8．在△abc中，a＝30°，ab＝2，bc＝1，则△abc的面积等于___
9．△abc的周长为20，面积为10，a＝60°，则bc边的长为___
10．△abc的内角a、b、c的对边分别为a，b，c，asin a＋csin c－asin c＝bsin b．
1)求b；2)若a＝75°，b＝2，求a，c.
11．(2011·山东卷)在△abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知＝.
1)求的值；
2)若cos b＝，△abc的周长为5，求b的长．
b 级。1．(2012·辽宁大连四所重点中学联考)已知△abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，a＝80，b＝100，a＝30°，则此三角形( )
a．一定是锐角三角形。
b．一定是直角三角形。
c．一定是钝角三角形。
d．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形。
2．在△abc中，已知sin a∶sin b＝∶1，c2＝b2＋bc，则三内角a、b、c的度数依次是___
3．在△abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足＝.
1)求角a的大小；
2)若a＝2，求△abc面积的最大值．
详解答案。课时作业(二十二)
a 级。1．d 由正弦定理＝得，sin a＝sin b＝sin 45°＝，又因为b>a，故a＝30°.
2．a 由已知及正弦定理得＝2，a＝2sin a＝2sin 60°＝，故选a.
3．a 由＝及sin c＝2sin b，得c＝2b，cos a＝＝＝
a为△abc的内角，∴a＝30°.
4．a 由s△abc＝absin＝ab＝，得ab＝4.
根据余弦定理知4＝a2＋b2－2abcos＝(a＋b)2－3ab，所以a＋b＝4.故△abc的周长为a＋b＋c＝6，选a.
5．c ∵a＝120°，∴sin a＝，s＝×1×ab×sin a＝，∴ab＝4.
根据余弦定理可得，bc2＝ac2＋ab2－2ac·abcos a＝21，bc＝.
根据正弦定理可知：
＝2，故选c.
6．解析： ∵a＝2，b＝，c＝2，b＝＝＝2.
答案： 27．解析： ∵sin a，sin b，sin c成等比数列，sin2b＝sin a·sin c，由正弦定理得，b2＝ac，由余弦定理得cos b＝＝
答案： 8．解析： 由余弦定理得bc2＝ab2＋ac2－2ab·accos 30°，ac2－2ac＋3＝0，∴ac＝.
s△abc＝ab·acsin 30°＝×2××＝
答案： 9．解析： 设三角形三边长分别为a、b、c，依题意知，a＋b＋c＝20， bcsin a＝10，所以bc＝40，根据余弦定理得。
a2＝b2＋c2－2bccos a＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120，解得a＝7.
答案： 710．解析： (1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos b.
故cos b＝，因此b＝45°.
2)sin a＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故a＝b×＝＝1＋，c＝b×＝2×＝.
11．解析： (1)由正弦定理，可设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cos a－2cos c)sin b＝(2sin c－sin a)cos b，化简可得sin(a＋b)＝2sin(b＋c)．
又a＋b＋c＝π，所以sin c＝2sin a．因此＝2.
2)由＝2，得c＝2a.
由余弦定理及cos b＝，得b2＝a2＋c2－2accos b＝a2＋4a2－4a2×＝4a2.所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
b 级。1．c 依题意得＝，sin b＝＝＝因此30°90°，此时△abc是钝角三角形；若120°2．解析： 由题意知a＝b，a2＝b2＋c2－2bccos a，即2b2＝b2＋c2－2bccos a，又c2＝b2＋bc，cos a＝，a＝45°，sin b＝，b＝30°，∴c＝105°.
答案： 45°，30°，105°
3．解析： (1)因为＝，所以(2c－b)·cos a＝a·cos b.
由正弦定理，得(2sin c－sin b)·cos a＝sin a·cos b，整理得2sin c·cos a－sin b·cos a＝sin a·cos b，所以2sin c·cos a＝sin(a＋b)＝sin c.
在△abc中，sin c≠0，所以cos a＝，a＝.
2)由余弦定理cos a＝＝，又a＝2，所以b2＋c2－20＝bc≥2bc－20.
所以bc≤20，当且仅当b＝c时取“＝”
所以△abc的面积s＝bcsin a≤5.
所以△abc面积的最大值为5.
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