课时作业(五十) 抛物线。
a 级。1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( )
a．y＝3x2或y＝－3x2 b．y＝3x2
c．y2＝－9x或y＝3x2 d．y＝－3x2或y2＝9x
2．若点p到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点p的轨迹为( )
a．圆 b．椭圆。
c．双曲线 d．拋物线。
3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )
a．相离 b．相交。
c．相切 d．不确定。
4．(2012·四川卷)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点o，并且经过点m(2，y0)．若点m到该抛物线焦点的距离为3，则|om|＝(
a．2 b．2
c．4 d．2
5．拋物线c的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与拋物线c交于a，b两点，若p(1,1)为线段ab的中点，则拋物线c的方程为( )
a．y＝2x2 b．y2＝2x
c．x2＝2y d．y2＝－2x
6．过点m(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有___条．
7．(2012·北京卷)在直角坐标系xoy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点f，且与该抛物线相交于a，b两点．其中点a在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△oaf的面积为___
8．点p在抛物线x2＝4y的图象上，f为其焦点，点a(－1,3)，若使|pf|＋|pa|最小，则相应p的坐标为___
9．(2012·重庆卷)过抛物线y2＝2x的焦点f作直线交抛物线于a，b两点，若|ab|＝，af|＜|bf|，则|af
10．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．
11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为f，a是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，a到抛物线准线的距离等于5，过a作ab垂直于y轴，垂足为b，ob的中点为m.
1)求抛物线的方程；
2)若过m作mn⊥fa，垂足为n，求点n的坐标．
b 级。1．(2011·辽宁卷)已知f是抛物线y2＝x的焦点，a，b是该抛物线上的两点，|af|＋|bf|＝3，则线段ab的中点到y轴的距离为( )
a. b．1
c. d．2．(2012·重庆卷)过抛物线y2＝4x的焦点f的直线交该抛物线于a，b两点．若|af|＝3，则|bf
3．(2012·山东潍坊二模)已知过点a(－4,0)的动直线l与抛物线g：x2＝2py(p＞0)相交于b，c两点．当直线l的斜率是时，＝4.
1)求抛物线g的方程；
2)设线段bc的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
详解答案。课时作业(五十)
a 级。1．d 由题意知圆心为(1，－3)，抛物线开口向右或向下．把(1，－3)代入验证知d正确．
2．d 把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是拋物线的定义．
3．c 设抛物线焦点弦为ab，中点为m，准线为l，a1，b1分别为a，b在直线l上的射影，则|aa1|＝|af|，|bb1|＝|bf|，于是m到l的距离d＝(|aa1|＋|bb1|)＝af|＋|bf|)＝ab|＝半径，故相切．
4．b 由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则m到焦点的距离为xm＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2，y0＝±2，∴|om|＝＝2.
5．b 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，拋物线方程为y2＝2px，则且两式相减可得2p＝×(y1＋y2)＝kab×2＝2，即可得p＝1，∴拋物线c的方程为y2＝2x.
6．解析： 容易发现点m(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过m点且与x轴平行时，l与抛物线有一个公共点，或者l在m点上与抛物线相切．
答案： 27．解析： ∵y2＝4x的焦点为f(1,0)，又直线l过焦点f且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝(x－1)，将其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0.
x＝或x＝3.
又点a在x轴上方，∴xa＝3.∴ya＝2.
s△oaf＝×1×2＝.
答案： 8．解析： 由抛物线定义可知pf的长等于点p到抛物线准线的距离，所以过点a作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点即为所求点p的坐标，此时|pf|＋|pa|最小．
答案： 9．解析： 由于y2＝2x的焦点坐标为，设ab所在直线的方程为y＝k，a(x1，y1)，b(x2，y2)，x1＜x2，将y＝k代入y2＝2x，得k22＝2x，k2x2－(k2＋2)x＋＝0.
∴x1x2＝.
而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，∴x1＋x2＝.
x1＝，x2＝.∴af|＝x1＋＝＋
答案： 10．解析： 由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，设抛物线方程为y2＝4c·x.
拋物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，故拋物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点，－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，－＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．
b2＝，故双曲线方程为：－＝1.
11．解析： (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.
2)∵点a的坐标是(4,4)，由题意得b(0,4)，m(0,2)．
又∵f(1,0)，∴kfa＝，mn⊥fa，∴kmn＝－.
又fa的方程为y＝(x－1)，故mn的方程为y－2＝－x，解方程组得x＝，y＝，n的坐标为。
b 级。1．c 过a，b两点，分别向拋物线的准线作垂线，垂足分别为a′，b′，设线段ab的中点为p，点p到准线的距离为|pp′|，如右图所示．由拋物线定义：|af|＋|bf|＝|aa′|＋bb′|＝2|pp′|＝3，∴|pp′|＝
线段ab的中点到y轴的距离为d＝|pp′|－故选c.
2．解析： 由题意知，抛物线的焦点f的坐标为(1,0)，又|af|＝3，由抛物线定义知，点a到准线x＝－1的距离为3，点a的横坐标为2.
将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知，y＝2，a(2,2)，∴直线af的方程为y＝2 (x－1)．
又解得。或。
由图知，点b的坐标为，|bf|＝－1)＝.
答案： 3．解析： (1)设b(x1，y1)，c(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4，联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4，由已知＝4，∴y2＝4y1，由韦达定理及p＞0可得y1＝1，y2＝4，p＝2，抛物线g的方程为x2＝4y.
2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：y＝k(x＋4)，bc中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，由δ＞0得k＜－4或k＞0，x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，bc中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，b＝2(k＋1)2，∴b＞2.
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