课时作业(四十三) 直线、平面垂直的判定与性质。
a 级。1．(2012·沈阳模拟)已知直线l，m，平面α，β且l⊥α，mβ，则“α∥是“l⊥m”的( )
a．充要条件 b．充分不必要条件。
c．必要不充分条件 d．既不充分也不必要条件。
2．将图1中的等腰直角三角形abc沿斜边bc的中线折起得到空间四面体abcd(如图2)，则在空间四面体abcd中，ad与bc的位置关系是( )
a．相交且垂直 b．相交但不垂直。
c．异面且垂直 d．异面但不垂直。
3．已知直线m，l和平面α，β则α⊥β的充分条件是( )
a．m⊥l，m∥α，l∥β b．m⊥l，α∩m，lα
c．m∥l，m⊥α，l⊥β d．m∥l，l⊥β，mα
4.如图，已知△abc为直角三角形，其中∠acb＝90°，m为ab的中点，pm垂直于△abc所在平面，那么( )
a．pa＝pb＞pc b．pa＝pb＜pc
c．pa＝pb＝pc d．pa≠pb≠pc
5．(2012·浙江卷)设l是直线，α，是两个不同的平面( )
a．若l∥α，l∥β，则α∥βb．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
c．若α⊥βl⊥α，则l⊥β d．若α⊥βl∥α，则l⊥β
6.如图，∠bac＝90°，pc⊥平面abc，则在△abc，△pac的边所在的直线中，与pc垂直的直线有___与ap垂直的直线有___
7．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；m⊥α；mα；④当满足条件___时，有m⊥β.填所选条件的序号)
8.如图所示，在四棱锥p－abcd中，pa⊥底面abcd，且底面各边都相等，m是pc上的一动点，当点m满足___时，平面mbd⊥平面pcd.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
9．在正三棱锥p－abc中，d，e分别是ab，bc的中点，有下列三个论断：①ac⊥pb；②ac∥平面pde；③ab⊥平面pde.其中正确论断的序号为___
10．(2012·新课标全国卷)如图，在三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱垂直底面，∠acb＝90°，ac＝bc＝aa1，d是棱aa1的中点．
1)证明：平面bdc1⊥平面bdc；
2)平面bdc1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
11．rt△abc所在平面外一点s，且sa＝sb＝sc，d为斜边ac的中点．
1)求证：sd⊥平面abc；
2)若ab＝bc，求证：bd⊥平面sac.
b 级。1.如图，在正方体abcd－a1b1c1d1中，e，f分别是cd，a1d1的中点．
1)求证：ab1⊥bf；
2)求证：ae⊥bf；
3)棱cc1上是否存在点p，使bf⊥平面aep？若存在，确定点p的位置，若不存在，说明理由．
2.如图，四棱锥v－abcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad⊥底面abcd，设ab＝2.
1)证明：ab⊥平面vad；
2)求二面角a－vd－b的正切值；
3)e是va上的动点，当面dce⊥面vab时，求三棱锥v－ecd的体积．
详解答案。课时作业(四十三)
a 级。1．b 当α∥βl⊥α时，有l⊥β，又mβ，故l⊥m.
反之，当l⊥m，mβ时，不一定有l⊥β，故α∥β不一定成立．
因此“α∥是“l⊥m”的充分不必要条件．
2．c 在图1中的等腰直角三角形abc中，斜边上的中线ad就是斜边上的高，则ad⊥bc，翻折后如图2，ad与bc变成异面直线，而原线段bc变成两条线段bd，cd，这两条线段与ad垂直，即ad⊥bd，ad⊥cd，bd∩cd＝d，故ad⊥平面bcd，所以ad⊥bc.
3．d 由/ α如图。
由/ α如图。
由/ α如图。
所以选项a，b，c都不对．又选项d能推出α⊥β所以d正确，故选d.
4．c ∵m为ab的中点，△acb为直角三角形，∴bm＝am＝cm，又pm⊥平面abc，∴rt△pmb≌rt△pma≌rt△pmc，故pa＝pb＝pc.
5．b 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．
设α∩βa，若直线l∥a，且lα，lβ，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故a错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β故α⊥β所以b正确；若α⊥β在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此c错误；已知α⊥β若α∩βa，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此d错误．
6．解析： ∵pc⊥平面abc，∴pc垂直于直线ab，bc，ac；
ab⊥ac，ab⊥pc，ac∩pc＝c，ab⊥平面pac，ab⊥pc.与ap垂直的直线是ab.
答案： ab，bc，ac ab
7．解析： 若m⊥α，则m⊥β.
答案： ②8．解析： 由定理可知，bd⊥当dm⊥pc(或bm⊥pc)时，即有pc⊥平面mbd，而pc平面pcd，平面mbd⊥平面pcd.
答案： dm⊥pc(或bm⊥pc等)
9.解析： 如图，∵p－abc为正三棱锥，∴pb⊥ac；
又∵de∥ac，∴ac∥平面pde.
故①，②正确．
答案： ①10．解析： (1)证明：由题设知bc⊥cc1，bc⊥ac，cc1∩ac＝c，所以bc⊥平面acc1a1.
又dc1平面acc1a1，所以dc1⊥bc.
由题设知∠a1dc1＝∠adc＝45°，所以∠cdc1＝90°，即dc1⊥dc.又dc∩bc＝c，所以dc1⊥平面bdc.
又dc1平面bdc1，故平面bdc1⊥平面bdc.
2)设棱锥b－dacc1的体积为v1，设ac＝1.由题意得。
v1＝××1×1＝.
又三棱柱abc－a1b1c1的体积v＝1，所以(v－v1)∶v1＝1∶1.
故平面bdc1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
11．证明： (1)取ab的中点e，连结se，de，在rt△abc中，d，e分别为ac，ab的中点，故de∥bc，且de⊥ab.
sa＝sb，∴△sab为等腰三角形．
se⊥ab.
又∵de⊥ab，se∩de＝e，∴ab⊥平面sde.
而sd平面sde，∴ab⊥sd.
在△sac中，sa＝sc，d为ac的中点，∴sd⊥ac.
又∵sd⊥ab，ac∩ab＝a，∴sd⊥平面abc.
2)若ab＝bc，则bd⊥ac，由(1)可知，sd⊥平面abc，而bd平面abc，sd⊥bd.
又∵bd⊥ac，sd∩ac＝d，∴bd⊥平面sac.
b 级。1．解析： (1)证明：连接a1b，则ab1⊥a1b，又∵ab1⊥a1f，且a1b∩a1f＝a1，ab1⊥平面a1bf.
bf平面a1bf，∴ab1⊥bf.
2)证明：取ad中点g，连接fg，bg，则fg⊥ae，又∵△bag≌△ade，∴∠abg＝∠dae.
ae⊥bg.又∵bg∩fg＝g，ae⊥平面bfg.∵bf平面bfg，ae⊥bf.
3)存在．取cc1中点p，即为所求．
连接ep，ap，c1d，ep∥c1d，c1d∥ab1，∴ep∥ab1.
由(1)知ab1⊥bf，∴bf⊥ep.
又由(2)知ae⊥bf，且ae∩ep＝e，bf⊥平面aep.
解析： (1)证明：∵平面vad⊥底面abcd，底面abcd是正方形．∴ab⊥ad.
又平面vad∩底面abcd＝ad.
故ab⊥平面vad.
2)如图，取vd的中点f，连接af，bf.
△vad是正三角形，af⊥vd，af＝ad.
根据(1)ab⊥平面vad.
ab⊥vd.∴vd⊥平面abf.
bf⊥vd.
∠afb为面vad与平面vdb所成的二面角的平面角．
tan∠afb＝＝.
3)由(1)可知ab⊥平面vad，cd⊥平面vad.
平面vad⊥平面ecd.
又∵△vad是正三角形，当e是va中点时，ed⊥va.
va⊥面edc，∵va面vab，∴面vab⊥面edc.
此时三棱锥v－edc的体积等于三棱锥c－ved的体积，vc－edv＝·s△ved·dc＝××1×2＝.
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