课时作业(六) 函数的奇偶性及周期性。
a 级。1．(2012·广东卷)下列函数为偶函数的是( )
a．y＝sin xb．y＝x3
c．y＝ex d．y＝ln
2．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(
a．－ b．－
c. d．3．(2012·南昌模拟)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈r)，则下列结论正确的是( )
a．存在a∈r，f(x)是偶函数。
b．存在a∈r，f(x)是奇函数。
c．对于任意的a∈r，f(x)在(0，＋∞上是增函数。
d．对于任意的a∈r，f(x)在(0，＋∞上是减函数。
4．(2011·湖北卷)若定义在r上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(
a．ex－e－x b． (ex＋e－x)
c. (e－x－ex) d． (ex－e－x)
5．(2011·陕西卷)设函数f(x)(x∈r)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是( )
6．若函数f(x)＝为奇函数，则a
7．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝_
8．定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f(x)>x的解集为___
9．设f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，若f(－1)<－1，f(2 014)＝，则实数a的取值范围是___
10．已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．
11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．
1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞上的单调性．
b 级。1．f(x)，g(x)都是定义在r上的奇函数，且f(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若f(a)＝b，则f(－a)＝(
a．－b＋4 b．－b＋2
c．b－4 d．b＋2
2．(2012·南京模拟)定义在r上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞时，f(x)＝log2x，则不等式f(x)<－1的解集是___
3．已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．
1)求f(0)的值；
2)证明：函数f(x)是周期函数；
3)若f(x)＝x(0详解答案。
课时作业(六)
a 级。1．d 由函数奇偶性的定义知a、b项为奇函数，c项为非奇非偶函数，d项为偶函数．
2．a 由题意得f＝－f＝－f＝－f＝－＝
3．a 依次判断各选项，易知a中当a＝0时，函数为偶函数，故命题为真，而无论a取何值，函数不可能是奇函数，故b错，只有当a≥0时函数在(0，＋∞上为增函数，当a＝1时，1∈r，f(x)在(0，＋∞上不是减函数，故c，d选项是错误的，故选a.
4．d ∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.
又∵f(x)＋g(x)＝ex，g(x)＝.
5．b 由于f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以a、c错误；由于f(x＋2)＝f(x)，所以t＝2是函数y＝f(x)的一个周期，d错误．所以选b.
6．解析： (特值法)∵f(x)＝是奇函数，f(－1)＝－f(1)，＝
a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
答案： 7．解析： 令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3，g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
答案： 2x＋3
8．解析： 依题意，画出y＝f(x)与y＝x的图象，如图所示，注意到y＝f(x)的图象与直线y＝x的交点坐标是和，结合图象可得。
答案： ∪9．解析： f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，f(－1)<－1f(1)>1，f(2 014)＝f(1)＝，1，解得a>4或a<－1.
答案： (1)∪(4，＋∞
10．解析： ∵f(x)的定义域为[－2,2]，有，解得－1≤m≤.①
又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)1－m>m2－1，即－2综合①②可知，－1≤m<1.
11．解析： (1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈r)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞且x1则f(x1)－f(x2)＝－x1＋x2)(x1－x2)＋＝x1－x2).
由于x1≥2，x2≥2，且x1∴x1－x2<0，x1＋x2>，所以f(x1)故f(x)在[2，＋∞上是单调递增函数．
b 级。1．a ∵函数f(x)，g(x)均为奇函数，f(a)＋f(－a)＝0，g(a)＋g(－a)＝0，f(a)＋f(－a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＋3f(－a)＋5g(－a)＋2＝4，f(－a)＝4－f(a)＝4－b.
2．解析： 当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，f(x)＝
f(x)<－1或或。
0答案： 3．解析： (1)由f(x)是定义在r上的奇函数知f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
2)证明：由已知条件对于任意x∈r，都有f(－x)＝－f(x)，且f(2－x)＝f(x)，f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)为周期函数，周期为4.
3)当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x，又f(0)＝0，则当－1≤x≤1时，f(x)＝x.
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