八年级数学竞赛预选题。
步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；
步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）
1）无论点在边上任何位置，都有填“”、号）；
2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤。
一、二进行操作：
当点在点时，与交于点点的坐标是。
当厘米时，与交于点点的坐标是。
当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；
解：（1）无论点p在ab边上任何位置，都有qp=qe（填“>”
2）将矩形纸片abcd放在直角坐标系中，按上述步骤。
一、二进行操作：
当点p在a点时，pt与mn交于点q1，q1点的坐标是（0，3）；
当pa=6厘米时，pt与mn交于点q2，q2点的坐标是（6，6）；
2、操作，在△abc中，ac＝ab＝2，∠c＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边ab的中点p处，将三角板绕点p旋转，三角板的两直角边分别交射线ac，射线cb于d，e两点，图①、②是旋转三角板得到的图形中的其中三种．
**：（1）三角板绕p点旋转，观察线段pd与pe之间有什么大小关系？它们的关系为并以图②为例，加以证明．
（2）三角板绕p点旋转，△pbe能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出△pbe为等腰三角形时的ce的长）；若不能，说明理由．
解： ：1)连结pc.
∵△abc是等腰直角三角形，p是ab的中点，∴cp=pb，cp⊥ab，∠acp=∠acb=45°.
∴∠acp=∠b=45°.
又∵∠dpc+∠cpe=∠bpe+∠cpe=90°，∴dpc=∠bpe.
∴△pcd≌△pbe.∴pd=pe.
(2)共有四种情况：
①当点c与点e重合，即ce=0时，pe=pb；
②ce=2-，此时pb=be；
③当ce=1时，此时pe=be；
④当e在cb的延长线上，且ce=2+时，此时pb=eb
3、已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．
解： 设，，过点的直线交边于．在中，若是顶角，如图1，则，．
此时只能有，即，即．
若是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当时，则，中，，．
1．由，得，此时有，即．
2．由，得，此时，即．
3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾．
当是底角时，不成立．
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