1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)
3．掌握正方形的判定条件；(重点)
4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．(难点)
一、情境导入。
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
二、合作**。
**点一：正方形的性质。
类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明。
如图所示，正方形abcd的边长为1，ac是对角线，ae平分∠bac，ef⊥ac于点f.
1)求证：be＝cf；
2)求be的长．
解析：(1)由角平分线的性质可得到be＝ef，再证明△cef为等腰直角三角形，可证明be＝cf；
2)设be＝x，在△cef中可表示出ce，由bc＝1，可列出方程，可求得be.
1)证明：∵四边形abcd为正方形，∴∠b＝90°，∵ef⊥ac，∴∠efa＝90°，∵ae平分∠bac，∴be＝ef，又∵ac平分∠bcd，∴∠acb＝45°，∴fec＝∠fce，∴ef＝fc，∴be＝cf；
2)解：设be＝x，则ef＝cf＝x，在rt△cef中，ce＝＝x，∵bc＝1，∴x＋x＝1，解得x＝－1，即be的长为－1.
方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
类型二】 利用正方形的性质求角度或证明。
在正方形abcd中，点f是边ab上一点，连接df，点e为df中点．连接be、ce、ae.
1)求证：△aeb≌△dec；
2)当eb＝bc时，求∠afd的度数．
解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得ab＝cd，每一个角都是直角可得∠bad＝∠adc＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得ae＝ef＝de＝df，根据等边对等角可得∠ead＝∠eda，再求出∠bae＝∠cde，然后利用“边角边”证明即可；
2)根据全等三角形对应边相等可得eb＝ec，再求出△bce是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ebc＝60°，然后求出∠abe＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠bae，然后根据等边对等角可得∠afd＝∠bae.
1)证明：在正方形abcd中，ab＝cd，∠bad＝∠adc＝90°，∵点e为df的中点，∴ae＝ef＝de＝df，∴∠ead＝∠eda，∵∠bae＝∠bad－∠ead，∠cde＝∠adc－∠eda，∴∠bae＝∠cde，在△aeb和△dec中，△aeb≌△dec(sas)；
2)解：∵△aeb≌△dec，∴eb＝ec，∵eb＝bc，∴eb＝bc＝ec，∴△bce是等边三角形，∴∠ebc＝60°，∴abe＝90°－60°＝30°，∵eb＝bc＝ab，∴∠bae＝(180°－30°)＝75°，又∵ae＝ef，∴∠afd＝∠bae＝75°.
方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段．
**点二：正方形的判定。
类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定。
已知：如图，在rt△abc中，∠acb＝90°，cd为∠acb的平分线，de⊥bc于点e，df⊥ac于点f.
求证：四边形cedf是正方形．
解析：要证四边形cedf是正方形，则要先证明四边形decf是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：∵cd平分∠acb，de⊥bc，df⊥ac，∴de＝df，∠dfc＝90°，∠dec＝90°，又∵∠acb＝90°，∴四边形decf是矩形，∵de＝df，∴矩形decf是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定。
如图，已知在四边形abfc中，∠acb＝90°，bc的垂直平分线ef交bc于点d，交ab于点e，且cf＝ae；
1)试判断四边形becf是什么四边形？并说明理由；
2)当∠a的大小满足什么条件时，四边形becf是正方形？请回答并证明你的结论．
解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有be＝ec，bf＝fc，又因为cf＝ae，可得出be＝ec＝bf＝fc，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形becf是菱形；
2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠abc＝45°时，∠ebf＝90°，得出菱形ebfc为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠a＝45°.
解：(1)四边形becf是菱形．理由如下：∵ef垂直平分bc，∴bf＝fc，be＝ec，∴∠3＝∠1，∵∠acb＝90°，∴3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴2＝∠4，∴ec＝ae，∴be＝ae，∵cf＝ae，∴be＝ec＝cf＝bf，∴四边形becf是菱形；
2)当∠a＝45°时，菱形becf是正方形．证明：∵∠a＝45°，∠acb＝90°，∴cba＝45°，∴ebf＝2∠cba＝90°，∴菱形becf是正方形．
方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
**点三：正方形的性质与判定的综合。
已知：如图，△abc中，点o是ac上的一动点，过点o作直线mn∥bc，设mn交∠bca的平分线于点e，交∠bca的外角∠acg的平分线于点f，连接ae、af.
1)求证：∠ecf＝90°；
2)当点o运动到何处时，四边形aecf是矩形？请说明理由；
3)在(2)的条件下，△abc应该满足条件则四边形aecf为正方形．(直接添加条件，无需证明)
解析：(1)由已知ce、cf分别平分∠bco和∠gco，可推出∠bce＝∠oce，∠gcf＝∠ocf，所以得∠ecf＝90°；
2)由(1)可得出eo＝co＝fo，点o运动到ac的中点时，则有eo＝co＝fo＝ao，所以这时四边形aecf是矩形；
3)由已知和(2)得到的结论，点o运动到ac的中点时，且△abc满足∠acb为直角的直角三角形时，则推出四边形aecf是矩形且对角线垂直，所以四边形aecf是正方形．
1)证明：∵ce平分∠bco，cf平分∠gco，∴∠oce＝∠bce，∠ocf＝∠gcf，∴∠ecf＝×180°＝90°；
2)解：当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形．理由如下：∵mn∥bc，∴∠oec＝∠bce，∠ofc＝∠gcf，又∵ce平分∠bco，cf平分∠gco，∴∠oce＝∠bce，∠ocf＝∠gcf，∴∠oce＝∠oec，∠ocf＝∠ofc，∴eo＝co，fo＝co，∴oe＝of.
又∵当点o运动到ac的中点时，ao＝co，∴四边形aecf是平行四边形，∵∠ecf＝90°，∴四边形aecf是矩形；
3)解：当点o运动到ac的中点时，且满足∠acb为直角时，四边形aecf是正方形．∵由(2)知，当点o运动到ac的中点时，四边形aecf是矩形，已知mn∥bc，当∠acb＝90°，则∠aof＝∠coe＝∠cof＝∠aoe＝90°，即ac⊥ef，∴四边形aecf是正方形．故答案为：∠acb为直角．
方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出eo＝fo，确定(2)(3)的条件．
如图，ae是正方形abcd中∠bac的平分线，ae分别交bd、bc于f、e，ac、bd相交于o.求证：
1)be＝bf；
2)of＝ce.
解析：(1)根据正方形的性质可求得∠abe＝∠aof＝90°.由于ae是正方形abcd中∠bac的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠afo＝∠aeb.
根据“对顶角相等”即可求得∠bfe＝∠aeb，be＝bf；(2)连接o和ae的中点g.根据三角形的中位线的性质即可证得og∥bc，og＝ce.根据平行线的性质即可求得∠ogf＝∠feb，从而证得∠ogf＝∠afo，og＝of，进而证得of＝ce.
2019春期中八年级数学
二 一二年春季期中教学质量检测。八年级数学。考生注意 本卷共九道大题，满分120分，时量120分钟。一 填空题 每小题3分，共30分 1 当x 时，分式无意义 当时，分式有意义 当x 时，分式的值为0.2 约分。3 计算。4 当x 时，与的值相等。5 已知y与x成反比例，且当时，则当时。6 函数的图...
2023年春八年级数学下册期中检测卷
2019年春德化三中片区期中跟踪检测。八年级数学科试题。满分 150 考试时间 120分钟 学校班级姓名考号 友情提示 本次考试有设置答题卡，请把各题的解答另填写在答题卡指定的位置，这样的解答才有效！一 选择题 本大题共有10小题，每小题4分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要...
2023年春八年级数学下册期末试卷
2014年春永顺县民族实验学校八年级下册数学期末复习。时间 120分钟总分 150分制卷人 谢深标。一 精心选一选 每小题3分，共24分 1 在函数中，自变量的取值范围是。a x 2 b x 2 c x 2 d x 2 2 某学习小组7位同学，为教育 捐款，捐款金额分别为5元，10元，6元，6元，7...