本资料**于《七彩教育网》
全国初中（初二）数学竞赛辅导。
第七讲根式及其运算。
二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．
二次根式的性质：
二次根式的运算法则：
设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅。
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．
例1 化简：
法是配方去掉根号，所以。
因为x-2＜0，1-x＜0，所以。
原式=2-x+x-1=1．
＝a-b-a+b-a+b=b-a．
说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．
例2 化简：
分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．
解法1 配方法．
配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则。
解法2 待定系数法．
例4 化简：
(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．
分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成。
解设。两边平方得。
②×③得。(xyz)2=5×7×35=352．
因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以。
xyz=35．⑤
⑤÷②有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以。
解设原式=x，则。
解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．
将方程左端因式分解有。
(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．
因为。x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．
解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．
例8 化简：
解(1)本小题也可用换元法来化简．
解用换元法．
解直接代入较繁，观察x，y的特征有。
所以。3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy
＝3(x＋y)2-11xy
例11 求。
分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．
解设根号内的式子为a，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以。
a＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1
＝22×256-1＋1＝22×256，的值．
分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．
解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有。
两边平方得。
两边再平方得。
x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．
观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有。
(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．
解因为。练习七。
1．化简：2．计算：
3．计算：本资料由《七彩教育网》 提供！
八年级数学二次根式复习题
二次根式。知识要点 3 二次根式的运算 学习过程 一。填空题。1.若a的算术平方根是，则a 2.的平方根为。3.若时，则 4.当a 1且时，化简。5.请你观察思考下列计算过程 同样。由此猜想 6.已知xy 3，那么的值为 7.实数a在数轴上的位置如图所示，化简 8.计算 9.若，则10x 2y的平方...
八年级数学二次根式复习题
二次根式。知识要点 3 二次根式的运算 学习过程 一。填空题。1.若a的算术平方根是，则a 2.的平方根为。3.若时，则 4.当a 1且时，化简。5.请你观察思考下列计算过程 同样。由此猜想 6.已知xy 3，那么的值为 7.实数a在数轴上的位置如图所示，化简 8.计算 9.若，则10x 2y的平方...
人教版八年级数学下册二次根式复习题
初中数学试卷。2017年八年级数学下册二次根式复习题。一 单选题 1.函数中自变量的取值范围是 abcd.2.下列各式中，是最简二次根式的是 abcd.3.若，则有 a.0 m 1b.1 m 0c.2 m 1d.3 m 2 4.一个正方形的面积是12，它的边长在两个相邻整数之间，则这两个整数是 a....