八年级数学下册重心导学案

杨成超。

八年级数学下册——重心导学案。

教学目标】：

进一步认识规则几何图形的重心就是它的几何中心。 **不规则几何图形的重心。。

教学重难点】：

探索三角形、任意多边形的重心。

自学指导】：

学生看p109---p110注意以下问题：

1 我们采用了什么样的方法来**几何图形的重心？我们得到的结论是什么？

2 不同形状、不同类型的三角形的重心又会有什么不同？它们是否都在三角形内部？

3 寻找三角形和任意多边形的重心。

4 质量分布不均又没有特定几何形状的物体重心如何寻找呢？

自学检测】：

（1）用一个手指顶住一块均匀的正方形硬纸片，找出平衡点的位置．

2）探索这个平衡点与正方形对角线的交点有什么关系，你有什么发现？

3）根据（2）的发现，你能找出矩形、菱形、一般平行四边形的重心在什么位置吗？

发现：师生共同**，总结】：

线段的重心是线段的中点。

平行四边形的重心，是它的两条对角线的交点。

分组，然后各种对不同形状的三角形进行研究。

1. 在三角形薄板的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点；

2. 用下端系有小重物的细线缠绕在一个小钉上，吊起薄板，记下铅垂线的“痕迹”;

3. 在另一个小钉上重复(2)的活动，找到两条铅垂线的交点。

寻找三角形和任意多边形的重心。

三角形的三条中线交于一点。这一点就是三角形的重心。

如下图所示。

第一组：我们组是找的锐角三角形的重心，它就在三角形内部。（如图a）

第二组：我们的研究的直角三角形，我们发现直角三角形的重心也在三角形内部（如图b）

第三组：我们研究的是钝角三角形，钝角三角形，钝角三角形的重心仍在三角形上，而且在三角形的内部。

对于线段、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形等规则的几何图形，它们的重心就是该图形的几何中心。

对于任何的多边形这些不规则的几何图形，它们的重心就需要采用悬挂法来找。

重心就是重力的作用点，重心及其位置的变化，直接影响重力作用的整体效果。在重力起主要作用的力学过程中，如建筑设计、机械制造等技术领域，对其稳定性、平衡性、转动性等一系列力学问题，关于重心的思考是必不可少，甚至是至关重要的。对于质量分布均匀又有一定的几何形状的物体，它的重心都与其几何中心重合。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3 纵坐标：(y1+y2+y3)/3 竖坐标：

（z1+z2+z3）/3

5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

证明：刚才证明三线交一时已证。

6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。

三角形的重心就是三边中线的交点。线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。

平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。

圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。

锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。

四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。

重心的影响因素。

1.物体的形状

2.质量的分布

寻找重心的方法。

下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法。

a.悬挂法

只适用于薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。

b.支撑法

只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。

一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。

c.针顶法同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。

与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了。

d.用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀）

用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来）。而后用同样的方法作另一条线。两线交点即其重心。

重心：三角形顶点与对边中点的连线交于一点，称为三角形重心；

垂心：三角形各边上的高交于一点，称为三角形垂心；

外心：三角形各边上的垂直平分线交于一点，称为三角形外心；

内心：三角形三内角平分线交于一点，称为三角形内心；

中心：正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。

三角形“五心歌”

三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．

重心。三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；

长短之比二比一，灵活运用掌握好．

垂心。三角形上作三高，三高必于垂心交．

高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清。

内心。三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；

点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．

外心。三角形有六元素，三个内角有三边．

作三边的中垂线，三线相交共一点．

此点定义为“外心”，用它可作外接圆．

提高练习】：

1.规则几何图形重心是它的___不规则几何图形的重心可以通过___来找．

2.用一块均匀的木板做一个翘翘板，支点应放在。

3.用手指顶起一块平行四边形的硬纸板，欲使纸板平衡，则手指应放在___

4. 已知o是菱形的重心，过o作一条直线将非正方形的菱形分成两部分不可能是（）

a.平行四边形 b.等腰梯形 c.直角梯形 d.矩形。

5.三角形的重心是三角形三条（）的交点。

a．中线 b．高 c．角平分线ｄ．垂直平分线。

6.如图，用确定几何重心的方法将图形分成面积相等的两部分。

作业】：1．线段的重心是。

2．平行四边形的重心是。

3．三角形的重心是。

4．等边三角形的重心，也是它的心；心；心．

5．o为正方形abcd的重心，ef、gh过o点，且ef垂直于gh，则ef、gh将正方形分成的四部分面积有何关系。

6．任意三角形的重心的位置一定在（）

a．三角形的内部 b．三角形的外部 c．三角形的某边上 d．以上均有可能。

7．（8分）三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的倍．

8．（10分）小明作了个三角形的风筝，他想找到风筝的重心，你能帮他找到重心吗？试一试．

第8题图。9．已知是的重心．

求：点g到直角顶点c的距离gc的值．

第910．设四边形abcd的对角线ac与bd相交于o，△oab、△obc、△ocd、△oda的重心分别为e、f、g、h，则sefgh∶sabcd值是多少．

第1011．下列说法中正确的是（）

等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一。

a．①③b．②③c．①②d．①②

12．在△abc中，点g为重心，若bc边上的高为6，则点g到bc边的距离为。

13．已知△abc三边长分别为，cd为中线，那么重心到垂心的距离是多少？

14．工人师傅要把一块角钢（如图）分成面积相等的两块，你能帮忙份一下吗？

第14题图。

15．在 △abc，中线be与中线cd交于g点，若m为be的中点，n为cd的中点，求：

第1516．如图，你能作出平行四边形的重心吗？对于任给四边形，你能作出它的重心吗？试一试．

第16题图。

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