§13.4 全等三角形的应用。
教学目标。(一)教学知识点应用三角形全等的有关知识图、测量旗杆的高度.
(二)能力训练要求。
1.利用全等概念及其基本的图形变换寻求全等关系.
2.掌握构造全等三角形的基本方法.
(三)情感与价值观要求。
通过活动,提高学生的建模意识与建模能力,培养学生的创新意识,激发他们勇于探索、热爱科学的精神.
教学重点根据三角形全等的知识测量旗杆的高度.构造全等三角形的方法与技巧.
教学过程。ⅰ.提出问题,创设情境。
出示投影,提出问题.
观察下列图形的特点:
有几组全等图形?请一一指出.
[生甲]两个小圆全等,还有两个锐角三角形全等.
[生乙]两个小“l”形也是全等的.
[师]根据什么可以判断它们全等呢?
[生]观察它们形状、大小是否一致,这里可以用工具量,也可以通过平移、翻折、旋转来看它们是否完全重合,若能就是全等形.这是全等的概念.
[师]很好,生活中许多美妙的图案都是通过全等形拼接出来的.如我们的衣服上好多图案就是根据全等形设计的图案.下面请同学们做活动,体验全等三角形的奇妙作用.
ⅱ.导入新课。
活动一]下图是两个根据全等形设计的图案.仔细观察一下,每个图案中有哪些全等形?哪些是全等三角形?
通过观察和讨论不难发现: 图甲中四个菱形全等,四个黑色的四边形全等,八个三角形全等.
图乙中四个小正方形全等,1~8这八个小三角形全等,9~12这四个三角形全等.
另外我们还可以发现一些拼接后的全等形.如分别组成的四个长方形全等.还有很多,有兴趣的话下课后继续找.
[活动二]测量旗杆的高度。
操场上有一根旗杆.你能利用一些简易工具,根据全等形的有关知识,测量出旗杆的高吗?
[师]在你的桌子上构建一个操场模型,以笔作旗杆,试试看,怎样可以解决这个问题?同伴间交流操作方法.
(给学生充分的思考和讨论时间,一旦有合理的部分就给予鼓励和肯定,并指出不足,适时引导,使操作方法更趋完善和简便)
[生甲]我的想法是这样的,人站在离旗杆一定距离处,看旗杆顶端有一个仰角,将这个仰角侧出.因为旗杆与地面垂直,并且旗杆底部与人的距离可以测出,那这个直角三角形就是一个确定的三角形.然后我们在操场地面上再作出与这个直角三角形全等的三角形.量出与旗杆相等的对应边长,就知道旗杆的高了.如图所示:
[师]我们不能爬上旗杆顶端,通过你的构造解决了一大难题,把旗杆搬到了地面上,这样可以用皮尺量长度了。但老师想问一个问题:你的仰角大小如何测量?
[生甲]用量角器啊.
[生乙]你的视线是看上去的一个方向,这条线没法画,我看用量角器没法量.地面上三角形的角倒是可以量.
[师]有道理.而且这样做由于三角形比较大,在做直角和量角器测角时都有较大误差.即使能做也不是理想的做法,那么我们能不能在此基础上改进一下呢.
生丙]我爸爸是搞工程的,我见过他有一个测角仪,用它测角比量角器测角既方便又准确.所以我想这样测可以解决上述两点不足.用一根竹竿,将它平放在旗杆底部,使它的一端与旗杆底部重合,人站在竹竿的另一端用测角仪测得此时的仰角,然后转身再测一仰角与刚才的仰角互余,移动竹竿,使其仰角线正好过竹竿顶端.这时利用全等三角形知识可得人到竹竿的距离即旗杆的高.如图所示.
所以△abc≌△eda.
所以ad=cb.
量出ad的长即旗杆bc的高.
[师]很好,你的想法又进一步.可是我们没有测角仪,只有一些简单的工具,比如说:皮尺和竹竿.如何改进能测出旗杆的高度呢?请同学们再讨论讨论.
[生]要是不测角的话,能不能让竹竿立起来保持与旗杆平行,使人的视线恰好过竹竿顶端和旗杆顶端,这样就有两个直角三角形了.并且可以测量出人到竹竿的距离与人到旗杆的距离.但它们不是全等三角形呀.那么这两个距离有什么关系呢?
[师]你能将你的想法用图表示出来吗?
生]可以.(如图所示)
[师]你的想法是很有价值,请同学们想一想,能不能在这个图形的基础上再构造出一些全等三角形呢?假如测得bd=ab.
(学生讨论) [生甲]我想出来了,可以将ab五等分,分别过等分点作ac的平行线与bc有交点,此时这些交点也将bc五等分,再过这些等分点作ab的平行线,就可以得出一些小三角形,这些小三角形是全等的.(如图所示)
数数看有5个三角形全等,这也就是说旗杆高有5个竹竿的长度,这时我们只要量出竹竿的长度,再乘以5,就是旗杆的高度了.
[生乙]我同意他的想法,但我不同意他的算法,我们再观察图6和图7,可以发现de的长度应该等于竹竿高度减去人身高,最后算出的旗杆高度应等于5de+人身高.
[生丙]假如ab不是bd的整数倍呢?
[生丁]那可调节竹竿的高度嘛.
[生戊]那我们能不能推测若ab=nbd,旗杆高度就是竹竿高度的n倍呢?即使n不是整数也可以.
[师]是这样的,这在我们以后学的相似形中会得以证明.
同学们,通过**,我们已经有了基本思路,现在请大家写出一个操作方案来.
操作步骤:第一步:人站定,测量人脚底到旗杆底端的距离.
第二步:取一竹竿,移动竹竿使竹竿同时满足下列条件.
①竹竿与地面垂直.
②竹竿底端、人脚部、旗杆底端在一条直线上.
③人看旗杆顶端的视线恰好过竹竿顶端.
第三步:测量人脚底到竹竿底端的距离.
第四步:测量竹竿的高度.
第五步:计算旗杆的高度.计算方法如下:
①算出人脚底到旗杆底端距离与到竹竿底端距离的倍数n.
②竹竿高度-人身高=h.
③旗杆高度=nh+人身高.
这时教师可**多**课件,使学生能更直观地了解测量过程与测量原理,获得更大的感观理解,增强学习信心与兴趣.
ⅲ.课时小结。
通过本节数学活动你有什么收获?
1.复习全等三角形的有关知识.
2.构造全等三角形的基本方法.
3.了解数学建模的一般思路.
ⅳ.课后作业。
1.观察生活,再找一个利用全等三角形测量距离的实际问题,并亲自实践.
2.就实践情况,写一份测量报告.
ⅴ.活动与**。
请你找两个被建筑物隔开的物体,然后想办法测量这两个物体之间的距离,并说明利用什么数学知识.
过程:通过室外活动,使学生进一步了解利用数学知识来解决实际问题的基本方法,体会数学与实际生活的联系.
结果:主要是利用构造全等三角形来测量距离.
板书设计。全等三角形的应用。
活动一:数一数哪些是全等形.
活动二:测量旗杆的高度.
操作步骤:小结:
备课资料。参考练习。
1.要测量河两岸相对的两点a、b的距离,先在ab的垂线bf上取两点c、d,使cd=bc,再定出bf的垂线de,使a、c、e在一条直线上,可以证明△edc≌△abc,得到ed=ab,因此测得ed的长就是ab的长(如图),判定△edc≌△abc的理由是( )
a.边角边公理 b.角边角公理; c.边边边公理 d.斜边直角边公理。
答案:b1. 如图,有一湖的湖岸在a、b之间呈一段圆弧状,a、b间的距离不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出a、b间的距离吗?
答案:要测量a、b间的距离,可用如下方法:
1)过点b作ab的垂线bf,在bf上取两点c、d,使cd=bc,再定出bf的垂线de,使a、c、e在一条直线上,根据“角边角公理”可知△edc≌△abc.因此:de=ba.即测出de的长就是a、b之间的距离.(如图甲)
(2)从点b出发沿湖岸画一条射线bf,在bf上截取bc=cd,过点d作de∥ab,使a、c、e在同一直线上,这时△edc≌△abc,则de=ba.即de的长就是a、b间的距离.(如图乙).
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试卷简介 全卷共3个选择题,9个填空题,2个解答题和1个证明题,测试时间为30分钟,共100分。本卷试题立足基础,主要考察了学生对全等三角形性质的掌握情况。各个题目难度不一,学生在做题过程中可回顾本章知识点,加强对全等三角形的认识。学习建议 本讲主要内容是全等三角形的性质,它不仅是中考常考的内容之一...
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