八年级数学全等三角形中等难度题目。
例二：如图1，已知，ac⊥ce，ac=ce， ∠abc=∠cde=90°，问bd=ab+ed吗？
分析] ：1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°角，得到一组等量关系；
2）出现3个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；
3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：
如如图6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到ac=bd。
解答过程：得到△abc≌cde之后，可得到bc=de，ab=cd
bc+cd=de+ab（等式性质）
即：bd=ab+de
变形1]：如图7， 如果△abc≌△cde，请说明ac与ce的关系。
注意]：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）
位置关系（垂直，平行之类）
变形2]：（2008 泸州）如图，e是正方形abcd的边dc上的一点，过点a作fa⊥ae交cb的延长线于点f，求证：de=bf
分析]：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。
变形3]：如图8，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ae是过点a的直线，bd⊥ae，ce⊥ae，如果ce=3，bd=7，请你求出de的长度。
分析] ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“ab=ac”，发现：ab在rt△abd中，ac在rt△cae中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个rt△全等（如图9）
于是：已经存在了两组等量关系：ab=ac，直角=直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。
解：由题意可得：在rt△abd中，∠1+∠abd=90°（直角三角形的两个锐角互余）
又∵ ∠bac=90°（已知）， 即∠1+∠cae=90°
∴ ∠abd=∠cae（等角的余角相等）
故在△abd与△cae中，bda=∠aec=90°（垂直定义）
abd=∠cae（已求）
ab=ac（已知。
△abd≌△cae（aas
ae=bd=7，ad=ec=3 （全等三角形的对应边相等）
de=aead=73=4
变形4]：在△abc中，∠acb= 900，ac=bc，直线mn经过点c，且ad⊥mn于d，be⊥mn于e。
1）当直线mn绕点c旋转到图9的位置时，△adc≌△ceb，且 de=ad+be。你能说出其中的道理吗？
2）当直线mn绕点c旋转到图10的位置时， de =ad-be。说说你的理由。
3）当直线mn绕点c旋转到图11的位置时，试问de，ad，be 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。
等腰三角形、等边三角形的全等问题：
必备知识]：
如右图，由∠1=∠2，可得∠cbe=∠dba；反之，也成立。
例三：已知在△abc中，ab=ac，在△ade中，ad=ae，且∠1=∠2，请问bd=ce吗？
分析]这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的△abc与△ade是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的“bd=ce”，你会发现bd在△abd中，ce在△ace中，这样一来，“ab=ac”可以理解为：ab在△abd中，ac在△ace中，它们是一组对应边；
“ad=ae”可以理解为：ad在△abd中，ae在△ace中，它们是一组对应边；
所以只需要说明它们的夹角相等即可。
关键还是在于：说明“相等的边（角）所在的三角形全等”
解： ∵1=∠2（已知）
1+∠cad=∠2+∠cad（等式性质）
即： ∠bad=∠cae
在△abd与△ace中，ab=ac（已知）
bad=∠cae（已求）
ad=aeabd≌△ace（sas）
bd=ce（全等三角形的对应边相等）
变形1]：如图13，已知∠bac=∠dae，∠1=∠2，bd=ce，请说明△abd≌△ace.吗？为什么？
分析]：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用sas说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢？
变形2]：过点a分别作两个大小不一样的等边三角形，连接bd，ce，请说明它们相等。
分析]：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把bd看成在△abd的一边，ce看成△ace的一边，自然就得到了证明的方向。
解：∵△abc与△ade是等边三角形，ab=ac， ad=ae ∠bac=∠dae=60°
bac+∠cad=∠dae+∠cad（等式性质）
即： ∠bad=∠cae
[变形3]：如图16—18，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，，连接bd，ce，请说明它们相等。
这里仅以图17进行说明。
解：∵ abc与△ade是等边三角形，ab=ac， ad=ae
∠bac=∠dae=60°
∠bac∠cad=∠dae∠cad【仅这步有差别】
即：∠bad=∠bad=∠cae
∴ 在△abd与△ace中，ab=ac（已知）
∠bad=∠cae（已求）
ad=aeabd≌△ace（sas）
bd=ce（全等三角形的对应边相等）
图16，图18的类型，请同学们自己去完成。
变形4]：（2008 怀化）如图，四边形abcd、defg都是正方形，连接ae、cg，ae与cg相交于点m，cg与ad相交于点n．求证：；
分析]：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60°换成直角了，思路一样。
例四： 如图，△abc中，∠c=90°，ab=2ac，m是ab的中点，点n在bc上，mn⊥ab.
求证：an平分∠bac.
分析]：要说明an平分∠bac，必须说明两角相等，∴可以说明△amn≌△can，而题中已有了一组直角相等，一组公共边（斜边）
结合题目中条件，比较容易找到一边直角边相等，从而利用hl定理得到全等。
变形1]：在rt△abc中，已知∠a=90°，de⊥bc于e点，如果ad=de，bd=cd，求∠c的度数。
典型例题：例1：（2008 威海）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点d在bc上，连结be，ad，ad的延长线交be于点f．求证：af⊥be．
练习1：如图，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，ae是过点a的直线，bd⊥ae，ce⊥ae，如果ce=3，bd=7，请你求出de的长度。
例2： △dac, △ebc均是等边三角形，且a、c、b在同一直线上，ae,bd分别与cd,ce交于点m,n,求证：（1）ae=bd； (2)cm=cn； (3) △cmn为等边三角形；（4）mn∥bc。
例3：（10分）已知，△abc中，∠bac = 90°，ab = ac，过a任作一直线l，作bd⊥l于d，ce⊥l于e，观察三条线段bd，ce，de之间的数量关系．
如图1，当l经过bc中点时，de1分），此时bd ce（1分）．
如图2，当l不与线段bc相交时，bd，ce，de三者的数量关系为并证明你的结论．（3分）
如图3，当l与线段bc相交，交点靠近b点时，bd，ce，de三者的数量关系为。
证明你的结论（4分），并画图直接写出交点靠近c点时，bd，ce，de三者的数量关系为1分）
图1图2图3
八年级数学全等三角形的性质 全等三角形 基础练习 含答案
试卷简介 全卷共3个选择题，9个填空题，2个解答题和1个证明题，测试时间为30分钟，共100分。本卷试题立足基础，主要考察了学生对全等三角形性质的掌握情况。各个题目难度不一，学生在做题过程中可回顾本章知识点，加强对全等三角形的认识。学习建议 本讲主要内容是全等三角形的性质，它不仅是中考常考的内容之一...
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八年级数学全等三角形14 1全等三角形教案沪科版
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