第1讲全等三角形（习题）
四、真题演练。
1、（2016四川眉山12题）如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与交于点，连接交于点，连接，若，则下列结论：
垂直平分；②≌
其中正确结论的个数是（ ）
个个个个。2、（2016辽宁朝阳16题）如图，在菱形中，，点分别是上任意的点（不与端点重合），且，连接相交于点，连接与相交于点。给出如下几个结论：
≌；②与一定不垂直；③的大小为定值；
；⑤若，则。
其中正确的结论序号为。
图13、（2016福建南平15题）如图，正方形中，点分别为上的点，且，点为线段的中点，过点作直线与正方形的一组对边分别交于两点，并且满足。则这样的直线（不同于）有条。
4、（2016湖南株洲17题）如图，已知是平面直角坐标系中坐标轴上的点，且≌。设直线的表达式为，直线的表达式为，则。
5、（2016辽宁丹东16题）如图，在平面直角坐标系中，两点分别在轴、轴上，，连接。点在平面内，若以点为顶点的三角形与全等（点与点不重合），则点的坐标为。
练习1、（2016四川眉山12题）
关键词】全等寻找。
分析】①垂直平分。
易知为等边，得，则点在中垂线上。再由，可得点在中垂线上。所以，垂直平分。①正确。
首先这两个三角形均是含30°的，但。所以，②错误。
被确定为等边后，可以说所有的角度问题均迎刃而解，不难得出也是等边。所以，③正确。
面积转化即可。考虑到角度均特殊，易知，则。又易知点为中点，则。而。
故。所以，④正确。
综上，选。练习2、（2016辽宁朝阳16题）
关键词】全等寻找、全等构造、平行比例。
分析】①≌由，可知菱形是由两个等边组合而成。由“边角边”定理不难判断①正确。
与一定不垂直。
已经是等边了，就看点的位置。当点为中点时，点也为中点。由对称性可判断此时于，所以②错误。
的大小为定值。
角度转化即可，。
所以，③正确。
我们熟知边长为的等边三角形的面积为。所以考虑构造以为边的等边来比较。如图3，过点作交延长线于。易知，所以即为想构造的等边三角形，面积为。
图3现在问题的关键就看与是否相等。
易证：≌。所以，④正确。
若，则。简化图形分析，如图4，过点作交于。
图4，即。所以，⑤正确。
综上，正确的结论序号为①③④
练习3、（2016福建南平15题）
关键词】全等构造、分类讨论。
分析】如图2，由对称性，分类讨论，可画3条。
图2图3严格证明的话，构造证全等即可。如图3，连接。易证≌，得。其它两条同理可证。所以，这样的直线有3条。
练习4、（2016湖南株洲17题）
关键词】全等、一次函数。
分析】特征1：≌。可得。则。
特征2：直线：；直线：。
则。所以，。
练习5、（2016辽宁丹东16题）
关键词】全等构造、分类讨论。
分析】特征1：。说明点为直角顶点，为斜边。
特征2：以点为顶点的三角形与全等。中，点肯定为直角顶点，为斜边。但斜边的对应关系需分类讨论了，有可能对应，也有可能对应。
当≌，且在异侧时：
显然四边形为矩形。由，可得。
如图3，当≌，且在同侧时：
过作轴于，则。易知∽，则。
解之得。图3
如图4，当≌时：
易知点关于对称。连接交于，则且为中点。
过分别作轴于轴于。
图4图5中，由面积自等，解之得。
因点为中点，则。
易知∽,则，解之得。
这个结论的证明也非常简单，因为平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式，用两种不同形式表示即可，此处不赘述。
为叙述方便，我们不妨方便把图3、图4中的点记为。如图5，显然四边形为矩形，当然也具备平行四边形的性质了。
解之得。综上，点的坐标为、或。
———摘自《中考数学小压轴汇编初讲》
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