一．解答题（共7小题，每小题15分，最后一题25分）
1．（2013东营）（1）如图（1），已知：在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，直线m经过点a，bd⊥直线m，ce⊥直线m，垂足分别为点d、e．
证明：de=bd+ce．
2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△abc中，ab=ac，d、a、e三点都在直线m上，并且有∠bda=∠aec=∠bac=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论de=bd+ce是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3）拓展与应用：如图（3），d、e是d、a、e三点所在直线m上的两动点（d、a、e三点互不重合），点f为∠bac平分线上的一点，且△abf和△acf均为等边三角形，连接bd、ce，若∠bda=∠aec=∠bac，试判断△def的形状．
2．（2012岳阳）（1）操作发现：如图①，d是等边△abc边ba上一动点（点d与点b不重合），连接dc，以dc为边在bc上方作等边△dcf，连接af．你能发现线段af与bd之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
2）类比猜想：如图②，当动点d运动至等边△abc边ba的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想af与bd在（1）中的结论是否仍然成立？
3）深入**：
．如图③，当动点d在等边△abc边ba上运动时（点d与点b不重合）连接dc，以dc为边在bc上方、下方分别作等边△dcf和等边△dcf′，连接af、bf′，**af、bf′与ab有何数量关系？并证明你**的结论．
．如图④，当动点d在等边△边ba的延长线上运动时，其他作法与图③相同，ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
3．（2011梅州）如图1，已知线段ab的长为2a，点p是ab上的动点（p不与a，b重合），分别以ap、pb为边向线段ab的同一侧作正△apc和正△pbd．
1）当△apc与△pbd的面积之和取最小值时，ap直接写结果）
2）连接ad、bc，相交于点q，设∠aqc=α，那么α的大小是否会随点p的移动面变化？请说明理由；
3）如图2，若点p固定，将△pbd绕点p按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
4．已知△abc，分别以ab、ac为边作△abd和△ace，且ad=ab，ac=ae，∠dab=∠cae，连接dc与be，g、f分别是dc与be的中点．
1）如图1，若∠dab=60°，则∠afg如图2，若∠dab=90°，则∠afg
2）如图3，若∠dab=α，试**∠afg与α的数量关系，并给予证明；
3）如果∠acb为锐角，ab≠ac，∠bac≠90°，点m**段bc上运动，连接am，以am为一边以点a为直角顶点，且在am的右侧作等腰直角△amn，连接nc；试**：若nc⊥bc（点c、m重合除外），则∠acb等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）
5．如图，在四边形abcd中，∠b=∠c，ab=20cm．bc=15cm，点e为ab的中点，如果点p**段bc上以5cm/秒的速度由由点b向点c运动，同时，点q**段cd上由点c向点d运动．
1）若点q的运动速度与点p的运动速度相等，经过1秒后，△bpe与△cqp是否全等，请说明理由；
2）若点q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点q的运动速度为多少时，能够使△bpe与△cqp全等？
6．如图，△abc中，∠acb=90°，ac=6，bc=8．点p从a点出发沿a﹣c﹣b路径向终点运动，终点为b点；点q从b点出发沿b﹣c﹣a路径向终点运动，终点为a点．点p和q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过p和q作pe⊥l于e，qf⊥l于f．问：点p运动多少时间时，△pec与qfc全等？请说明理由．
7．（2005烟台）（1）如图1，以△abc的边ab、ac为边分别向外作正方形abde和正方形acfg，连接eg，试判断△abc与△aeg面积之间的关系，并说明理由．
2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．
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