八年级上数学竞赛预赛试题

班次姓名得分。

1. （2024年浙江省杭州市模拟）如图1，点p、q分别是边长为4cm的等边abc边ab、bc上的动点，点p从顶点a，点q从顶点b同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接aq、cp交于点m，则在p、q运动的过程中，∠cmq变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

2）何时pbq是直角三角形？

（3）如图2，若点p、q在运动到终点后继续在射线ab、bc上运动，直线aq、cp交点为m，则∠cmq变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

2.(2024年无锡）（1）如图1，在正方形abcd中，m是bc边（不含端点b、c）上任意一点，p是bc延长线上一点，n是∠dcp的平分线上一点．若∠amn=90°，求证：am=mn．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：

在边ab上截取ae=mc，连me．正方形abcd中，∠b=∠bcd=90°，ab=bc．∴∠nmc=180°—∠amn—∠amb=180°—∠b—∠amb=∠mab=∠mae．

下面请你完成余下的证明过程）

2）若将(1)中的“正方形abcd”改为“正三角形abc”（如图2）,n是∠acp的平分线上一点，则当∠amn=60°时，结论am=mn是否还成立？请说明理由．

3）若将（1）中的“正方形abcd”改为“正边形abcd…x”，请你作出猜想：当∠amn

时，结论am=mn仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

3. (2011浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点。例如，图中过点分别作轴，轴的垂线，与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则点是和谐点。

1）判断点是否为和谐点，并说明理由；

2）若和谐点在直线上，求的值。

4. （2011山东日照）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台电器给甲连锁店，30台电器给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：

设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．

1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；

2）为了**，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？

八年级数学竞赛预赛试题答案。

1. 【答案】（1）不变。

又由条件得ap=bq，∴≌sas)

2）设时间为t，则ab=bq=t，pb=4-t当。当。

当第秒或第秒时，pbq为直角三角形。3）不变。

又由条件得bp=cq，∴≌sas)

又。2. 【答案】

1）∵ae=mc,∴be=bm, ∴bem=∠emb=45°, aem=1355°,

cn平分∠dcp，∴∠pcn=45°，∴aem=∠mcn=135°

在△aem和△mcn中：∵∴aem≌△mcn，∴am=mn

2）仍然成立．

在边ab上截取ae=mc，连接me

∵△abc是等边三角形ab=bc，∠b=∠acb=60acp=120°．

∵ae=mc，∴be=bmbem=∠emb=60aem=120°．

∵cn平分∠acp，∴∠pcn=60aem=∠mcn=120°

cmn=180°—∠amn—∠amb=180°—∠b—∠amb=∠bam

aem≌△mcn，∴am=mn

3.【答案】

点不是和谐点，点是和谐点。

2）由题意得，当时，点在直线上，代入得；

当时，点在直线上，代入得。

4.【答案】 (1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱(70-x)台，调配给乙连锁店空调机(40-x)台，电冰箱(x-10)台，则y=200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10)，即y=20x+16800．

∴10≤x≤40

y=20x+168009 (10≤x≤40);

2)按题意知：y=（200-a）x+170(70-x)+160(40-x)+150（x-10），即y=（20-a）x+16800．

200-a＞170，∴a＜30．

当0＜a＜20时，x=40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；

当a=20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；

当20＜a＜30时，x=10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台；

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