1圆的对称性。
1. 圆是到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
圆也可以看作是一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
同一圆的半径相等，直径相等，直径等于半径的2倍。
2. 圆的基本元素：
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫直径。（如图）
（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
简称弧，弧用符号“⌒”表示。
（3）半圆、劣弧、优弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧。
每一条弧都叫做半圆。
（4）圆心角。
顶点在圆心的角，叫做圆心角。∠cod
（5）同心圆、等圆、等弧。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。
等圆：能够重合的两个圆叫等圆。
半径相等的两个圆也叫等圆。
等弧：在同圆与等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
3. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。
经过圆心的直线是对称轴。
圆心是它的对称中心。
4. 圆心角、弧、弦之间的关系。
定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
如图，用几何语言表示如下：
⊙o中，（1）∵∠aob＝∠a'ob'
（3）∵ab＝a'b'
5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理）
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如图：几何语言。
典型例题】例1. 选择题：
（1）下列说法中，正确的是（ ）
a. 长度相等的弧是等弧 b. 两个半圆是等弧。
c. 半径相等的弧是等弧 d. 直径是圆中最长的弦答案：d
（2）下列说法错误的是（ ）
a. 圆上的点到圆心的距离相等 b. 过圆心的线段是直径。
c. 直径是圆中最长的弦 d. 半径相等的圆是等圆答案：b
例2. 如图，已知ab是⊙o的直径，m、n分别是ao、bo的中点，cm⊥ab，dn⊥ab。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连结oc、od
∵m、n分别是oa、ob的中点。
∵oa＝ob，∴om＝on
又cm⊥ab，dn⊥ab，oc＝od
∴rt△omc≌rt△ond
∴∠aoc＝∠bod
例3. 在⊙o中，弦ab＝12cm，点o到ab的距离等于ab的一半，求∠aob的度数和圆的半径。
分析：根据o到ab的距离，可利用垂径定理解决。
解：过o点作oe⊥ab于e
∵ab＝12
由垂径定理知：
∴△abo为直角三角形，△aoe为等腰直角三角形。
例4. 如图，在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝3，bc＝4，以点c为圆心，ca为半径的圆与ab、bc分别交于点d、e。求ab、ad的长。
分析：求ab较简单，求弦长ad可先求af。
解：过点c作cf⊥ab于f
∵∠c＝90°，ac＝3，bc＝4
∵∠a＝∠a，∠afc＝∠acb
∴△afc∽△acb
例5. 如图，⊙o中，弦ab＝10cm，p是弦ab上一点，且pa＝4cm，op＝5cm，求⊙o的半径。
分析：⊙o中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连oa，过点o作om⊥ab于点m
∵点p在ab上，pa＝4cm
即⊙o的半径为7cm
例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略。解：如图，设圆拱所在圆的圆心为o，半径为r，cd为拱高。
则oc⊥ab于d
答：这个圆拱所在圆的直径为159.5米。
模拟试题】（答题时间：45分钟）
一。 选择题。
1. ⊙o中，弦ab所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦ab的距离oc为（ ）
a. b. 1 c. d.
2. 如图，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为e，如果，则ae的长为（ ）
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5
3. 如图，⊙o的弦ab垂直于直径mn，c为垂足，若oa＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（ ）
a. b.
c. d.
4. 一种花边由如图的弓形组成，的半径为，弦ab＝2，则弓形的高cd为（ ）
a. b. c. 1 d.
5. 下列命题中正确的是（ ）
a. 圆只有一条对称轴 b. 平分弦的直径垂直于弦。
c. 垂直于弦的直径平分这条弦 d. 相等的圆心角所对的弧相等。
6. 如图，已知ad＝bc，则ab与cd的关系为（ ）
a. ab＞cd b. ab＝cd
c. ab＜cd d. 不能确定。
二。 填空题。
7. 半径为6cm的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为cm。
8. 已知⊙o的直径为10cm，点a在圆上，则oacm。
9. 如图，∠a＝30°，则b
10. 过⊙o内一点m的最长的弦为6cm，最短的弦长为4cm，则om的长为。
11. ⊙o的半径为10cm，弦ab∥cd，ab＝12cm，cd＝16cm，则ab和cd的距离为。
12. ⊙o的直径ab和弦cd相交于点e，已知ae＝1cm，eb＝5cm，∠deb＝60°，则cd
三。 解答题。
13. 如图，⊙o的直径为4cm，弦ab的长为，你能求出∠oab的度数吗？写出你的计算过程。
14. 已知，⊙o的弦ab垂直于直径cd，垂足为f，点e在ab上，且ea＝ec。
求证：15. 如图，在⊙o中，a、b、c、d为圆上四点，且oc、od交ab于e、f，ae＝fb，则：
（1）oe与of有什么关系？为什么？
（2）与相等吗？为什么？
16. 如图，⊙o上有三点a、b、c且ab＝ac＝6，∠bac＝120°，求⊙o的半径。
17. ⊙o的直径ab＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，cd在上滑动（点c和a、点d与b不重合），且ce⊥cd交ab于e，df⊥cd交ab于f。
（1）求证：ae＝bf
（2）在动弦cd滑动过程中，四边形cdfe的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。
2. 圆周角和圆心角的关系。
基础练习】一、 填空题：
1. 如图3-10，已知ab是⊙o的直径，弦bc = cd，∠bad = 40°，则∠abc 的度数等于 ；
2. 如图3-11，a、b、c都是⊙o上的点，若∠abo = 50°，则∠acb
3. 已知圆的弦等于该圆的半径，则这条弦所对的圆心角所对的圆周角。
二、选择题：
1. 如图3-12，已知：a、b、c、d是⊙o上的顺次四点，且ac是直径，若∠abd = 35°，则∠cad 的度数是（ ）
a. 35b. 45c. 50d. 55°
2. 在下列各图中，∠1 与∠2不一定相等的是（ ）
三、解答题：
如图3-13，已知：圆的两弦ab、cd相交于点p，ad、cb的延长线相交于圆外一点q，∠aqc = 36°，∠apc = 80°. 求∠adc和∠bcd的度数。
如图3-14，自⊙o上一点a引三条弦ab、ac、ad，且ac平分∠bad，过c作弦ce∥ab交ad于点f，线段df与ef相等吗？为什么？
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