2023年高考一轮复习课时作业10B

课时作业(五十七)

一、选择题。

1．已知二面角α—l—β的大小为50°，p为空间中任意一点，则过点p且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )

a．2b．3

c．4 d．5

答案 b解析过点p分别作平面α、β的垂线l1、l2，则所求直线m与l1、l2所成的角都是65°，且直线l1、l2相交所成的两对对顶角的大小分别是50°与130°.于是可将问题转化为过点p且与定直线l1、l2所成的角都是65°的直线m的条数问题．结合图形易知，过点p且与定直线l1、l2所成的角都是65°的直线m共有3条，选b.

2．在如图所示的正方体a1b1c1d1－abcd中，e是c1d1的中点，则异面直线de与ac所成角的余弦值为( )a．－ b．－

c. d.答案 d

解析建立空间直角坐标系如图．不妨设正方体的棱长为2，则a(2,0,0)，c(0,2,0)，e(0,1,2)，＝2,2,0)，＝0,1,2)．cos<，>

3．(2010·黄冈)把正方形abcd沿对角线ac折起，当以a、b、c、d四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线bd和平面abc所成的角的大小为( )

a．90° b．60°

c．45° d．30°

答案 c解析易知当折成的二面角b－ac－d为90°时，体积最大，正方形的对角线bd被折成两段od，ob，此时ob与bd所成的角即为bd与平面abc所成的角，易知odb为等腰直角三角形，dbo＝45°，选c.

4．正三棱柱abc－a1b1c1的所有棱长均相等，则二面角a－a1b－c的大小为( )

a．arctan b．arccos

c．arcsin d．arccos

答案 a解析取ab中点e，则ce平面a1ab过e作efa1b于f，连结cf，则cfa1b

∠cfe为二面角a－a1b－c的平面角，设bc＝1

则ce＝，ef＝.

tancfe＝＝

故选a5. 如图，正方形abcd与正方形abef有公共边ab，平面ac与平面ae成60°的二面角，ab＝2，则异面直线cf与ab所成的角为( )a．30° b．45°

c．60° d．75°

答案 b解析连结ce，可知ce＝be＝bc＝2＝fe，abfe.而易证feec，则cfe＝45°.故而选b.

评析本题是一个立体几何的计算问题，首先要把题目中所给的二面角的平面角找出来，再作出异面直线所成的角进行计算求解，是一个常规思路的题目．

6．在正方体abcd－a1b1c1d1中，m是棱dd1的中点，o是底面abcd的中心，p是棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成角的大小为( )

a．45° b．90°

c．60° d．不能确定。

答案 b解析过o点作直线efab分别交ad、bc于e、f，则直线op必在平面a1efb1上，易证直线am平面a1efb1，直线am直线op，故选b.

评析变化当中寻找不变的规律是近年来立体几何中的一种热点题型．此类问题的思考方法是分析变化的直线op在哪个不变的平面内移动，把am和op的关系转化为直线am和平面a1efb1的位置关系．

7．平行六面体abcd－a1b1c1d1中，ab＝1，ad＝2，aa1＝3，bad＝90°，baa1＝daa1＝60°，则ac1的长为( )

a. b.c. d.

答案 b解析 ||

8．(2010·郑州)在边长为1的菱形abcd中，abc＝60°，将菱形沿对角线ac折起，使折起后bd＝1，则二面角b－ac－d的余弦值为( )a. b.

c. d.答案 a

解析在原图中连结ac与bd交于o点，则acbd，在折起后的图中，由四边形abcd为菱形且边长为1，则do＝ob＝，由于doac，因此dob就是二面角b－ac－d的平面角，由bd＝1得cos dob＝＝＝故选a.

二、填空题。

9．已知正四棱椎的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于___

答案解析如图，在正四棱锥s－abcd中，底面对角线bd＝2，则边长bc＝2作so底面abcd，作oecd，连se，则seo就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由v＝×(2)2·so＝12，得so＝3.

则在rtseo中tanseo＝，seo＝，即侧面与底面所成的二面角等于。

10．已知a(－1,0)，b(2,1)，c(1，－1)．若将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后bac的余弦值为___

答案解析作cmx轴于m，折后可知，cmbm，ac＝，bm＝，bc＝，又ab＝，cos bac＝＝.

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